本书介绍泛函分析的基础知识，包括距离空间与赋范空间、有界线性算子、Hilbert空间、有界线性算子的谱和拓扑线性空间。
本书旨在提供一本教师易于使用、学生易于阅读的本科生教材。为此，本书在内容编排上注重理论展开的条理性和清晰性，在文字叙述上力求可读性强，定理的证明过程较为详细。本书的第5章不是本科生必须学习的内容，仅供读者需要时参考。本书配备较多的习题，以备选用。本书的末尾对大部分习题给出提示或解答要点，供读者参考。
更多科学出版社服务，请扫码获取。
目录
丛书序
前言
第1章 距离空间与赋范空间
1.1 距离空间的基本概念 2
1.1.1 距离空间的定义与例 2
1.1.2 序列的极限 4
1.2 赋范空间的基本概念 6
1.2.1 线性空间 6
1.2.2 赋范空间的定义与例 8
1.3 Lp空间 11
1.3.1 空间Lp(1≤p＜∞) 11
1.3.2 空间L∞ 14
1.3.3 空间lp(1≤p≤∞) 15
1.4 点集 连续映射与可分性 16
1.4.1 距离空间中的点集 16
1.4.2 连续映射 18
1.4.3 空间的可分性 20
1.5 完备性 22
1.5.1 空间的完备性 22
1.5.2 完备空间的性质 25
1.5.3 压缩映射原理及其应用 26
1.5.4 空间的完备化 29
1.5.5 有限维赋范空间上的范数等价性 30
1.6 紧性 33
1.6.1 紧集与列紧集 33
1.6.2 空间C[a,b]中列紧集的等价特征 38
习题1 40
第2章 有界线性算子
2.1 有界线性算子的基本概念 46
2.1.1 有界线性算子的定义与例 46
2.1.2 算子的范数及其计算 49
2.1.3 有界线性算子空间 51
2.2 共鸣定理及其应用 52
2.3 逆算子定理与闭图像定理 57
2.3.1 逆算子定理 57
2.3.2 闭图像定理 60
2.4 Hahn-Banach定理 62
2.5 凸集、超平面与分离定理 67
2.5.1 凸集与超平面 67
2.5.2 凸集的分离定理 70
2.6 共轭空间的表示定理 73
2.6.1 的共轭空间 74
2.6.2 的共轭空间 76
2.6.3 的共轭空间 80
2.7 自反性 弱收敛与弱*收敛 83
2.7.1 二次共轭空间 84
2.7.2 弱收敛与弱*收敛 86
2.7.3 某些空间上弱收敛的判别条件 89
2.8 共轭算子 90
2.9 紧算子 94
习题2 97
第3章 Hilbert空间
3.1 内积空间的基本概念 104
3.2 正交分解定理投影算子 107
3.2.1 正交性 107
3.2.2 投影算子 111
3.3 正交系 115
3.3.1 规范正交系 115
3.3.2 正交系的完全性 118
3.3.3 Gram-Schmidt正交化方法 120
3.4 Riesz表示定理伴随算子 122
3.4.1 Riesz表示定理 122
3.4.2 伴随算子 123
3.4.3 自伴算子 127
习题3 130
第4章 有界线性算子的谱
4.1 谱的概念 134
4.1.1 可逆算子 134
4.1.2 正则集与谱 135
4.1.3 若干例子 140
4.2 紧算子的谱 141
4.2.1 紧算子谱的分布 141
4.2.2 算子方程的可解性 144
4.3 自伴算子的谱 谱分解 147
4.3.1 自伴算子的谱 147
4.3.2 正算子的正平方根 149
4.3.3 紧自伴算子的谱分解 151
4.4 自伴算子的谱分解 154
4.4.1 谱系与谱积分 155
4.4.2 谱分解定理 158
习题4 162
第5章* 拓扑线性空间
5.1 拓扑线性空间的基本概念 166
5.1.1 拓扑空间的基本概念 166
5.1.2 拓扑线性空间的定义 167
5.1.3 分离定理 171
5.1.4 平衡集 吸收集 172
5.1.5 有界集 173
5.2 局部凸空间 175
5.2.1 半范数与局部凸空间 175
5.2.2 可距离化与可赋范 180
5.2.3 若干例子 181
5.3 有界线性算子 183
5.3.1 有界线性算子与泛函 183
5.3.2 泛函延拓定理与凸集的分离定理 185
5.3.3 弱拓扑与弱*拓扑 187
习题5 188
部分习题的提示与解答要点
参考文献
附录1 Weierstrass逼近定理
附录2 完备化空间的存在性定理
附录3 等价关系 半序集与Zorn引理
书单推荐
