《高等数学（下册）/普通高等教育”十二五“规划教材》是高等学校大学数学教学研究与发展中心项目“应用型本科院校理工类高等数学课程的教学内容改革与创新能力的培养”的研究成果。《高等数学（下册）/普通高等教育”十二五“规划教材》力求结构严谨、逻辑清晰、叙述详细、通俗易懂。在教材内容的组织上强调数学概念与实际问题的联系，注重数学史与数学文化内容的渗透，以期提高学生的科学素养和应用数学的意识和能力。《高等数学（下册）/普通高等教育”十二五“规划教材》有较多的例题和习题，便于自学，每章所配的总练习题大多来源于近年考研数学的真题，有利于优秀学生课后学习和提高训练。《高等数学（下册）/普通高等教育”十二五“规划教材》分上、下册。《高等数学（下册）/普通高等教育”十二五“规划教材》为下册，内容包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数共5章，并附有二、三阶行列式简介和习题答案与提示。
更多科学出版社服务，请扫码获取。
第8章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何①是多元函数微积分的基础，在解决某些实际问题时也会直接用到它.解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，空间解析几何是平面解析几何的推广.向量代数是研究空间解析几何的有力工具，利用它能够把空间的几何结构有系统的代数化?数量化.
本章先介绍向量的概念和运算，然后讨论空间平面和直线方程的建立，最后介绍常见的空间曲面.
8.1 空间直角坐标系
8.1.1 空间点的直角坐标
如果在平面上建立直角坐标系xOy，则平面上任一点的位置就可以用一个有序数组(x，y)来确定.因此为了确定空间中一点的位置，首先需要建立空间直角坐标系.
在空间中取定一点O，以O 为公共原点作三条相互垂直的数轴Ox，Oy，Oz，这就构成了一个空间直角坐标系，记作Oxyz.点O 称为坐标原点;数轴Ox，Oy，Oz 分别简称为x 轴(横轴)?y 轴(纵轴)?z 轴(竖轴)，统称坐标轴.坐标轴的正向通常构成右手系，即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从x 轴的正向以π2角度转向y 轴的正向时，拇指的指向就是z 轴的正向(图8-1).
任意两条坐标轴可以确定一个平面，其中x 轴与y 轴确定的平面记为xOy 面，y 轴与z轴确定的平面记为yOz 面，z 轴和x 轴确定的平面记为zOx 面，这三个平面统称为坐标面.
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限.含有三个坐标轴正向的卦限称为第Ⅰ卦限，在xOy 平面上方的4个卦限依逆时针顺序分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限.在xOy平面下方，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限相对的分别为Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(图8-2).
取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系.
设M 为空间中的一点，过点M 作垂直于3个坐标轴的平面，它们与x 轴?y 轴?z 轴的交点依次为P ，Q，R，这三点在坐标轴上的坐标依次为x，y，z(图8-3)，于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x，y，z).
反之，给定一个有序数组(x，y，z)，可以在x 轴?y 轴?z 轴上取与x，y，z 相应的点P ，Q，R，然后过点P，Q，R 分别作平面垂直于x 轴?y 轴?z 轴，这三个垂直平面的交点为M ，从而由有序数组(x，y，z)唯一地确定了空间的点M .因此空间的所有点与全体有序数组(x，y，z)之间就建立了一一对应的关系，有序数组(x，y，z)称为点M 的坐标，其中x 称为点M 的横坐标，y 称为点M 的纵坐标，z 称为点M 的竖坐标，记为M(x，y，z).
8.1.2 空间两点间的距离
设M1(x1，y1，z1)与M2(x2，y2，z2)为空间两点，过M1 和M2 分别作垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成的长方体以M1M2 为对角线(图8-4).
设M1 与M2 的距离为d，根据勾股定理，有d2= M1M2 2= M1N 2+ NM2 2= M1P 2+ M1Q 2+ M1R 2.
图8-4
由于M1P = P1P2 = x2-x1 ，
M1Q = Q1Q2 = y2-y1 ，
M1R = R1R2 = z2-z1 ，
所以
d= M1M2 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 .
这就是空间中两点间的距离公式.
特别地，点M(x，y，z)与坐标原点O(0，0，0)的距离为
d= x2+y2+z2 .
例1 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点.
解 因为所求的点在z 轴上，所以设该点为M(0，0，z)，有MA = MB ，
即(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2 = (0-3)2+(0-5)2+(z+2)2 .
解得z=149，所求的点为0，0，149
习 题 8-1
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限?
A(-1，2，3)， B(2，-2，1)， C(3，-1，-4)， D(-3，-1，1)， E(-2，1，-3)， F(-1，-2，-3).
2.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征? 指出下列各点的位置:
A(2，0，1)， B(0，-1，1)， C(1，-4，0)， D(-2，0，0)， E(0，2，0)， F(0，0，-1).
3.求点M0(x0，y0，z0)关于各坐标轴?坐标面和坐标原点的对称点的坐标.
4.求两点A(2，-1，3)，B(3，1，-1)之间的距离.
5.求点A(4，-3，5)到坐标原点和各坐标轴的距离.
6.在yOz 面上，求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，-2，-2)和C(0，5，1)等距离的点.
8.2 向量代数
8.2.1 向量的概念
在研究力学?物理学以及其他应用科学时所遇到的量，一般可分为两类.一类是只有大小的量，称为数量，如时间?长度?质量等;另一类是不仅有大小而且还有方向的量，称为向量，如力?位移?速度等.
定义8.1 既有大小又有方向的量称为向量.
我们用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的长度，有向线段的方向表示向量的方向.以A 为起点?B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB→(图8-5).有时也用a，b，r或黑体字母a，b，r 来表示向量.
定义8.2 如果两个向量的大小相等?方向相同，就称这两个向量是相等的.
从定义8.2可知，一个向量平移后仍与原来的向量相等，所以向量的起点可以在空间的任意一点.与起点无关的向量称为自由向量.我们研究的向量均为自由向量.
定义8.3 向量的大小称为向量的模，向量AB→，a 的模分别记作|AB→|，|a|.
模等于1的向量称为单位向量，模等于零的向量称为零向量，记作0.零向量没有确定的方向，也可以认为它的方向是任意的.
定义8.4 与向量a 的大小相等而方向相反的向量称为a 的负向量，记作-a.
显然，|-a|=|a|，-(-a)=a，-AB→=BA→.
定义8.5 设a，b 为两个非零向量，任取空间一点O，作OA→=a，OB→=b，则∠AOB(0≤∠AOB≤π)称为向量a 与b 的夹角(图8-6)，记作(a，b) ∧ .
如果(a，b) ∧ =0或π，则称向量a 与b 平行，记作a∥b.如果(a，b) ∧ =π2，则称向量a 与b垂直，记作a⊥b.
8.2.2 向量的加减法
根据力学中力的合成法则，我们给出两个向量加法运算的定义.
定义8.6 设a，b 为两个非零向量，平移a，b 使它们的起点重合于点A ，并以a，b 为边作平行四边形，则其对角线向量AC→(图8-7)称为向量a，b 的和，记作a+b.
这样用平行四边形的对角线来定义两个向量和的方法称为平行四边形法则.从图8-7
可以看出，a+b 也可以按下列方法得出:以向量a 的终点作为向量b 的起点，由a 的起点到b 的终点的向量就是a+b，这个方法称为三角形法则(图8-8).
图8-7
图8-8
显然a+0=a， a+(-a)=0.
向量的加法符合下列运算律:
(1)交换律 a+b=b+a;
(2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c).
向量的减法可以看成向量加法的逆运算.
图8-9
定义8.7 若b+c=a，则称c为a 与b 的差，记作c=a-b(图8-9).
由图8-9可以看出，把向量a 与b 的起点放在一起，则由b 的终点到a 的终点的向量即为a 与b 的差向量a-b.
利用负向量，可以把向量的减法运算变为加法运算.
如果c=a-b，即b+c=a，在等式两边各加b 的负向量-b，利用b+(-b)=0，得c=a+(-b)，即a-b=a+(-b).
这表明向量a 与b 的差等于a 与-b 的和.
由三角形两边之和大于第三边，有
|a+b|≤|a|+|b| 及 |a-b|≤|a|+|b|，
其中等号在a 与b 同向或反向时成立.
8.2.3 向量与数的乘法
定义8.8 设λ 是一个实数，向量a 与λ 的乘积(简称数乘)是一个向量，记作λa，它的模为|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa 与a 同向;当λ<0时，λa 与a 反向.
特别地，0a=0， 1a=a， (-1)a=-a.
向量与数的乘积符合下列运算规律(λ，μ 为实数):
(1)结合律 λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a;
(2)分配律 (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb.
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算.
设a0 表示与非零向量a 同方向的单位向量，则不难得到a=|a|a0.
由此也有a0= aa，即一个非零向量a 除以它的模，其结果是一个与a 同方向的单位向量，这个过程称为将向量a 单位化.
显然，向量λa 与a 平行，因此可以用向量的数乘来描述向量平行的关系.
定理8.1 若向量a≠0，则向量b∥a 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b=λa.
图8-10
例1 在平行四边形ABCD 中，M 是平行四边形对角线的交
点(图8-10)，设AB→=a，AD→=b，试用a 和b 表示向量MA→，MB→，MC→和MD→.
解 由于平行四边形的对角线互相平分，所以
a+b=2AM→，2MA→=-(a+b)，
于是MA→=-12(a+b)，MC→=-MA→=12(a+b).
又因为a-b=2MB→，所以MB→=12
(a-b)， MD→=-MB→=-12(a-b).
8.2.4 向量的坐标表示
用几何方法讨论向量及其运算比较直观，但是计算不方便，而且有些问题仅靠几何方法是很难解决的.我们现在引进向量的坐标表示法，用代数方法讨论向量及其运算.
在空间直角坐标系Oxyz 中，以i，j，k 分别表示沿x 轴?y 轴?z 轴正向的单位向量，这三个单位向量称为基本单位向量.
图8-11
设r 是一个给定的向量，若将r 的起点移到坐标原点O 处，此
时r 的终点在点M 处，即r=OM→.设点M 的坐标为(x，y，z)，过M
作三个平面分别垂直于三条坐标轴，依次交坐标轴与P，Q，R 三点
(图8-11)，不难看出
OP→=xi， OQ→=yj， OR→=zk，
根据向量的加法定义，有
OM→=OP→+PN→+NM→=OP→+OQ→+OR→=xi+yj+zk，
所以
r=OM→=xi+yj+zk.
上式称为向量r 的坐标分解式，xi，yj，zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量.当向量
r 给定时，分解式中的x，y，z 是唯一确定的，称x，y，z 为向量r 的坐标，记为r=(x，y，z).
向量r=OM→称为点M 的向径.上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标.
例2 设向量a=M1M2 →，点M1 和M2 的坐标分别为M1=(x1，y1，z1)和M2=(x2，y2，z2)，求向量a 的坐标.
图8-12
解 由于M1M2 →=OM2 →-OM1 →(图8-12)，而
r1=OM1 →=(x1，y1，z1)=x1i+y1j+z1k，
r2=OM2 →=(x2，y2，z2)=x2i+y2j+z2k，
所以a =M1M2 →=OM2 →-OM1 →
=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)
=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k，
即a=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).
由此可知，对于起点不在坐标原点的向量，其坐标恰好等于向量终点坐标与起点坐标之差.
8.2.5 利用坐标作向量的线性运算
利用向量的坐标表达式，可得向量的加法?减法以及数乘的运算如下.
设a=(ax，ay，az)， b=(bx，by，bz)，
即a=axi+ayj+azk， b=bxi+byj+bzk.
利用向量加法的交换律与结合律以及数乘向量的结合律与分配律，有
a±b =(axi+ayj+azk)±(bxi+byj+bzk)
=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k，
λa=λ(axi+ayj+azk) (λ 为实数)
=(λax)i+(λay)j+(λaz)k，
书单推荐
