《数学演义》对古今中外著名的数学故事用演义文体进行通而不俗、深入浅出的论述。例如十进制和二进制的故事和游戏，《九章算术》寓理于算的高招，三次方程与四次方程求根公式的演绎，兔子序列与优选法，笛卡儿之梦，油漆匠悖论，人口论中的数学，太和殿的屋顶是什么形状？怎样对图进行计算？防空导弹需要多少枚？如何算出系统工程的竣工日期？你想做数学家吗？等等。行文流畅生动，推理严格简洁，是一部雅俗共赏的科普著作。
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《数学演义》只要求读者具有2003年教育部制订的高中《数学课程标准》中规定的基础知识。现将《数学演义》献给广大中学师生、大学师生和数学工作者。
第一回手指脚趾计数自然二进十进游戏高雅
话说5万多年前，我们的祖先手持石器木棒，刀耕火种，狩猎捕鱼，逐渐有了“有无与多少”的概念。他们清点猎物和收获的野果，拿过一只山鸡，就扳屈一个指头，10个指头全扳屈了，就在地上放一块石子，心知已得10只山鸡，这就是10进制的萌芽。指头是自然界赋予人类的，所以后人称从1开始的正整数为自然数。19世纪，德国大数学家克罗内克说：“上帝创造了自然数，其余一切都是人造的。”此话中的“上帝”如果理解成宇宙，则此言言之有理。我国民间约定俗成了一种“手指数”：伸直一个指头代表1，伸直两个指头代表2， ，伸直五个指头代表5，伸出大拇指与小拇指代表6，伸出食指与中指和大拇指捏在一起代表7，伸出大拇指与食指代表8，伸出食指且弯曲代表9，伸出一个拳头代表10。古代南美洲印第安人生活困苦，加之天气炎热，几乎人人赤脚，于是在他们的玛雅文化中使用20进制(手指加脚趾=20)，有些国家也受了玛雅文化的影响，例如丹麦人、威尔士人、格陵兰人等，用一口人代表20，两口人代表40等等，英国人常用Score(20，记账，计算)这个词，他们心目中20和计数是有内在联系的。古巴比伦人(今伊拉克人的祖先)则用60进制，全世界的计时一直到现在仍在沿用60进位制。
到了近代，数学家把进位制用级数来表达，例如
在十进制中，2004=4×100+0×101+0×102+2×103
模仿十进制的这种表达方式，其他进位制的数字最大者不能超过进位制基数(十进制基数是10)减1，例如5进制中没有形如2005这个数。
在5进制中数码2004折合成10进制为254( 符号表示“规定”)：2004 4×50+0×51+0×52+2×53=254在20进制中数码2004折合成10进制为16004：2004 4×200+0×201+0×202+2×203=16004一般而言，正整数在10进制中是N，则当N=a0×b0+a1×b1+a2×b2+ +an×bn时，在b进制中写成N=anan-1an-2 a0，其中b是自然数。
17世纪，德国大数学家莱布尼茨发明了二进制，在二进制中，只有0与1两个数字，如果0是断电，1是通电，则用0-1化表达的整数适于“电气化”，所以在计算机上二进制很吃香。
在十进制与二进制中，可以编制不少好玩的数字游戏。
【游戏1】“用手指计算器”计算5到10之间的任二数之积。
例如8×9，一只手上伸出8-5=3个指头，另一只手伸出9-5=4个指头，3+4=7，7就是积的十位数字，把两手弯曲的指头数相乘得
2×1=2，2就是积的个位数，于是8×9=72。
道理：ab=［(a-5)+(b-5)］10+(10-a)(10-b)。
【游戏2】把你心中的两位数的十位数字乘以5加上7，再二倍，加上原来两位数的个位数，结果是几？这个几减去14就是你让我猜的那个数。
道理：设你心中的两位数是ab，则2(5a+7)+b=(10a+b)+14=ab+14。
【游戏3】把你心中的三位数的百位数字乘以2，加上3，乘以5，加上7，再加上原来那个数的十位数字，乘以2，加上3，乘以5，再加上原来那个数的个位数字，结果是几？这个几减去235就是你让我猜的那个数。
道理：设你心中的三位数是abc，则
52［5(2a+3)+7+b］+3+c=100a+10b+c+235。
【游戏4】把你心中的三位数的数字顺序颠倒过来，如果你那个数百位与个位不一样，你告诉我这两个数之差的最后一个数字，我就能猜出这个数。
道理：abc=100a+10b+c，cba=100c+10b+a，a≠c，于是
abc-cba=100(a-c)+(c-a)，知道了c-a，就知道a-c，于是差100(a-c)+(c-a)就知道了。
【游戏5】① 13579111315
② 236710111415
③ 456712131415
④ 89101112131415
一个不超过15岁的孩子，只要他告诉我他的年龄在哪几行，我立刻知道他今年几岁。
谜底：把他告知的那几行的排头相加即得。
道理：把上述4行的数(1至15)都表成二进制，则知第1行最后数字是1，第2行倒数第2个数字是1，第3行倒数第3个数字是1，第4行第1个数字是1，而未知数(年龄)x可表示成x=a020+a121+a222+a323x在第n行，则an-1=1，例如你说你的年龄在1，3，4行，则a0=a2=a3=1，x=a020+a121+a222+a323=1+22+23=13(岁)。
如果你用1到31(25-1)这31个数字排成5行，每行16个数，排头分别是1，2，4，8，16，且把在2进制中最后一个数字为1的数排在第1行，把2进制中倒数第2个数字为1的数排在第2行，倒数第3个数字为1的排在第3行，倒数第4个数为1的排在第4行，倒数第5个数为1的排在第5行。则可以问一位青少年(不超过31岁)，让他告知他的年龄在第几行，再把这几行的排头相加，即是他的年龄。
依此类推，可以制作n+1行的数表，排头分别是1，2，4， ，2n，进行相似游戏。且容易证明每行恰有2n个不同的数，这些数来自｛1，2，3， ，2n+1-1｝。
第二回测天度地作周髀弄巧动智证勾股
第二回测天度地作周髀
弄巧动智证勾股
公元前11世纪，商纣王暴虐无道，宠淫妇妲己，杀忠臣比干，朝廷挥霍无度，官僚苛政猛于虎，弄得神州民不聊生；周武王起兵伐纣，一呼百应，纠兵不堪一击，纣王兵败自焚，西周建国。武王封其胞弟周公为相，周公乃中国古代第一聪明人，他上知天文下知地理又精通数学，不但有治国平天下之韬略，而且重视科学技术，鼓励臣民钻研自然科学。朝中一位文臣唤作商高，这位商高是当时有名的星相家，兼善计算，一日，风和日丽，朝中无要事，周公在王家花园散步，见商高拿一个绳圈摆弄，只见那绳圈上用红色等分成12等份，每份1尺(1米=3尺)。周公问道：“此物何用？”商高答：“此圈大有学问。”周公追问：“何许学问，请先生指教。”商高于是向这位开国重臣论述了下面一段12尺绳圈上的数学，商高考虑边长为整数的由绳圈构成的三角形。
(1)把绳圈拉紧构成的三角形中，不会有边长大于5的三角形。
事实上，设由绳圈构成的三角形中边长分别为x尺、y尺和z尺，则应有x+y+z=12若x≥6，则y+z=12-x≤6≤x而在三角形中，两边之和y+z应大于第三边x，矛盾，所以x不应大于5。
这时x∈｛1，2，3，4，5｝。
(2) 当x=1时，y+z=12-x=11。与(1)同理可知y≤5，z≤5，这样，y+z≤10，与y+z=11矛盾，可见不存在x=1尺的由绳圈构成的三角形。
(3) 当x=3时，y+z=12-3=9，y≤3时，z=9-y≥9-3=6，与z≤5相违，故y≥4；同理z≥4，于是只能是y=4，z=5，或y=5，z=4，即这时三角形三边长只能是3尺、4尺和5尺。
(4) 当x=4时，y+z=12-4=8，由y≤5，z≤5知y∈｛3，4，5｝，这时只有三种可能：
①x=4，y=3，z=5，②x=4，y=4，z=4，③x=4，y=5，z=3。
由①②③知绳圈构成的边长为整数的三角形，若一边长为4，则只有两种情形，或者边长分别为3尺、4尺和5尺，或者是边长为4的正三角形。
(5) 当x=5时，y+z=12-5=7，又由y≤5，z≤5知y∈｛2，3，4，5｝，这时只有四种可能：
④x=5，y=4，z=3，⑤x=5，y=5，z=2，⑥x=5，y=3，z=4，⑦x=5，y=2，z=5。
综上所述，商高对周公下结论说：
用这条绳圈构成的边长为整数的三角形只有三种：
第一种：三边长皆4尺的正三角形，它的三个角都是60°。
第二种：底边长2尺，两腰皆5尺的等腰三角形。
第三种：边长分别为3尺、4尺和5尺的一个三角形，这个三角形有一个角是90°，这个角与5尺长的边相对；我把它的最短边叫做勾，最长的边叫做弦，另一条边叫做股，这时勾2+股2=弦2，(即32+42=52)。
勾3股4弦5的这种直角三角形是由三个连续整数为边长的唯一的直角三角形。事实上，设x为整数，x-1，x，x+1是一个直角三角形的三条边之长，由
勾2+股2=弦2
得
(x-1)2+x2=(x+1)2
x(x-4)=0
解得正整数x=4，于是x-1=3，x+1=5，即这种三角形是唯一的，它就是我们上面由绳圈构成的那个勾3股4弦5的直角三角形。
周公听了商高上述一番论述，赞叹道：“商高贤弟真神人也。”周公向商高咨询如何计算天有多高地有多广。周公问道：“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答道：“勾广3，股修4，径隅5。”商高指着竖立的8尺长的牛大腿骨说，大人您瞧，这根“周髀”的影子长6尺，按我们上面从绳圈得到的结论，即按直角三角形三边之比为3∶4∶5可知，从“周髀”的顶到“周髀”影子的端点之距离应该是2×5=10尺。见图2-1。如果我们能测得日下之长AD，则可以得日高股长=AD勾长
斜至日弦长=AD勾长从而算出日高与“斜至日”。
图2-1
后来周公的后代陈子把商高的“勾三股四弦五”的结论32+42=52推而广之，说了下面一句十分重要的有历史意义的话：“求斜至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，并以开方除之，得斜至日。”此言载入我国最早的一部数学经典《周髀算经》上。陈子的话用现在的话来讲就是“直角三角形斜边之长等于两直角边平方和的算术平方根”，此即我们现在所说的勾股定理。据说陈子等人测得“日下=60000里，日高=80000里”(1里=500米)，于是
斜至日=600002+800002=100000里
这些数据显然是错的，在不知宇宙的无穷性和地球是球状星体又缺乏测
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