《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》是编者在多年的教学经验与教学研究的基础上编写而成的。教材中适当加强了微积分的基本理论，同时兼顾微积分的应用，使之有助于培养学生分析问题和解决问题的能力。书中还给出了习题答案或提示，以方便教师教学使用及学生自学。
《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》分为上、下两册，此书是下册，内容包括多元函数及其微分学、含参积分及广义含参积分、重积分、曲线积分与曲面积分、常数项级数、函数项级数、Fourier级数。
本书可作为大学理工科非数学专业微积分课程的教材。
微积分是现代大学生(包括理工科学生以及部分文科学生)大学入学后的第一门课程，也是大学数学教育的一门重要的基础课程，其重要性已为大家所认可.但学生对这门课仍有恐惧感.对学生来说如何学好这门课，对教师来说如何教好这门课，都是广大师生关注的事情.众多微积分教材的出版，都是为了帮助学生更好地理解、学习这门课程，也为了教师更容易地教授这门课.本书的编写就是这么一次尝试.
一、 微积分的发展史
以英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)在17世纪下半叶独立研究和完成的，现在被称为微积分基本定理的牛顿莱布尼茨公式为标志，微积分的创立和发展已经历了三百多年的时间.但是微积分的思想可以追溯到公元前3世纪古希腊的阿基米德(Archimedes).他在研究一些关于面积、体积的几何问题时，所用的方法就隐含着近代积分学的思想.而微分学的基础——极限理论也早在公元前3世纪左右我国的庄周所著《庄子》一书的“天下篇”中就有记载，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”； 在魏晋时期我国伟大的数学家刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,都是朴素的、也是很典型的极限概念.利用割圆术，刘徽求出了圆周率π=3.1416……的结果.
牛顿和莱布尼茨的伟大工作是把微分学的中心问题——切线问题和积分学的中心问题——求积问题联系起来.用这种划时代的联系所创立的微积分方法和手段，使得一些原本被认为是很难的天文学问题、物理学问题得到解决，展现了微积分的威力，推动了当时科学的发展.
尽管牛顿和莱布尼茨的理论在现在看来是正确的，但他们当时的工作是不完善的，尤其缺失数学分析的严密性.在一些基本概念上，例如“无穷”和“无穷小量”这些概念，他们的叙述十分含糊.“无穷小量”有时是以零的形式，有时又以非零而是有限的小量出现在牛顿的著作中.同样，在莱布尼茨的著作中也有类似的混淆.这些缺陷，导致了越来越多的悖论和谬论的出现，引发了微积分的危机.
在随后的几百年中，许多数学家为微积分理论做出了奠基性的工作，其中有：
捷克的数学家和哲学家波尔查诺(Bolzano)(1781—1848年)，著有《无穷的悖论》，提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解.
法国数学家柯西(Cauchy)(1789—1857年)，著有《分析教程》、《无穷小分析教程概论》和《微积分在几何上的应用》，“柯西极限存在准则”给微积分奠定了严密的基础，创立了极限理论.
德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)(1815—1897年)，引进“εδ”、“εN”语言，在数学上“严格”定义了“极限”和“连续”，逻辑地构造了实数理论，系统建立了数学分析的基础.
在微积分理论的发展之路上，还有一些数学家必须提到，他们是黎曼(Riemann)、欧拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)、阿贝尔(Abel)、戴德金(Dedekind)、康托尔(Cantor)，等等，他们的名字将在我们的教材中一次又一次地被提到.
我们在教材中呈现的是经过许多数学家不断完善、发展的微积分体系.
二、 我们的教材
教材的编写与教学目的是紧密相关的.微积分的教学目的主要为：
工具与方法微积分是近代自然科学与工程技术的基础，其工具与方法属性是毋庸置疑的.物理、化学、生物、力学等，很少有学科不用到微积分的概念、思想方法与手段.即便是在许多人文社会科学中，也会用到微积分知识.
语言功能“数学教学也就是数学语言的教学.” 这是俄罗斯学者斯托利亚尔说过的.其实这里说的数学语言，不仅仅指的是数学上用到的语言，还指科学上用到的语言.科学知识的获取、发展及表述都需要一套语言，而数学语言是应用最广的一种科学语言.微积分中所用到的语言，包括“εδ”、“εN”语言，是最重要的数学语言之一.因此数学语言的学习也是微积分课程的教学内容.
培养理性思维理性思维方法是处理科学问题所必需的一种思维方法.微积分理论中处处闪耀着历史上一代又一代数学大师们理性思维的光芒，我们力图在教材中向学生展现这些理性思维的光芒，以激发学生理性思维的潜能.同时注重理性思维训练，使学生在微积分的学习过程中有机会逐步理解、掌握解决数学以及相关科学问题的逻辑思维方法.
实践过程从微积分的发展历史可以发现，从阿基米德、刘徽的朴素微积分思想，到牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理，再到“实数系—极限论—微积分”体系的建立，正好是一门学科从萌芽到初步建立再到完善的过程.任何一门科学的产生都沿袭这个过程.微积分是学生第一次完整地经历这一过程，而这种经历对每个学生来说也是难得的.微积分的学习就是一次实践过程，让学生体会、学习如何建立一门科学，在创建的过程中会遇到什么问题，如何去解决那些乍一看似乎解决不了的问题(例如“柯西极限存在准则”成功解决了数列或函数极限不存在的问题，而这个问题用极限的定义是无法解决的； 实数理论解决了实数在实数轴上的完备性问题).尽管微积分是一门已经成熟的课程，我们几乎不可能有创新的机会，但是通过建立微积分理论体系的实践，可以培养学生创新的能力.一旦有机会，他们会在各自的工作中提出自己的理论，并会完善自己的理论.就像儿时的搭积木对培养建筑师的重要性一样.
随着计算机和软件技术的日益发展，微积分中的一些计算工作，例如求导数、求积分等的重要性日渐减弱，而微积分的语言功能和实践过程却越来越重要.对于非数学专业的理工科学生来说，原来的微积分教材太注重微积分的工具功能，而数学专业的数学分析教材又太注重细节，学时太长，因此我们编写了现在的教材.
在本教材中，我们在不影响总学时的情况下,适当加强了极限理论的内容和训练,为学生进一步学好微积分理论打下坚实的基础.同时,将确界原理作为平台(基本假设)，给出了关于实数完备性的几个基本定理,使之满足微积分体系的需要.而对于初学学生不容易理解和掌握的内容,如有限覆盖定理等,则不作过多的论述与要求，从而避免冗长的论证和过于学究化的深究.我们比较详细地介绍了积分理论，证明了一元函数可积的等价定理以及二重积分的可积性定理，得到了只要函数 “比较好”(函数的间断点为零长度集(一元函数定积分)或零面积集(二元函数的二重积分))，积分区域边界也“比较好”(积分区域边界为零面积集(二元函数的二重积分))，一元函数定积分(二元函数的二重积分)一定存在.至于三重积分和曲线、曲面积分，我们采取了简化的方法，没有探究细节.
我们将常微分方程的内容放到上册，以便于其他学科(比如物理学)的学习.而级数则放到本书的最后.作为函数项级数的应用，我们在本书的最后证明了常微分方程初值问题解的存在唯一性定理.
微积分教材的理性与直观的关系一直是比较难处理的问题.过多地强调理性，可能会失去微积分本来的意图； 而过多地强调直观，又会使这么优秀的大学生失去了一次难得的理性思维训练，这种训练是高层次人才所必须经历的，而且我们的学生也非常愿意接受这种训练. 与国外的微积分教材比较强调直观相比，我们兼顾了数学的理性思维训练.与国内的微积分教材相比，我们结合了学生的实际情况(学习能力强，学习热情高)，适当地加强了教材与习题的难度，并考虑到理工科学生的背景，加强了应用.
本教材作为讲义已经在清华大学的很多院系使用过数次.上册与下册的基本内容分别使用75学时讲授,各辅以20~25学时的习题课.
本书是根据编者在清华大学微积分课程的讲义整理而成的.上册主要由刘智新编写,下册主要由章纪民编写,教材中的习题主要由北京邮电大学闫浩编写.在编写的过程中，得到了“清华大学‘985工程’三期人才培养项目”的资助和清华大学数学科学系领导的关心与帮助.编者的同事苏宁、姚家燕、郭玉霞、扈志明、杨利军、崔建莲、梁恒等老师在本书的编写过程中也给予了很多帮助和关心,借此机会,向他们一一致谢.
三、 关于微积分的学习
我们的学生经过小学、中学的数学学习，已经有一定的数学基础和技能，但是面对微积分这门严谨和理性的课程，多少都会有一些不适应.对学生而言，毅力和坚持是唯一的途径.对教师而言，耐心和细致也是必要的前提.任何教材都只是知识的载体，缺少了学生的毅力和教师的耐心，学好微积分是不可能的.
祝同学们学习进步！
编者
2014年7月于清华园
第1章多元函数及其微分学
1.1n维Euclid空间Rn
1.1.1n维Euclid空间
1.1.2n维Euclid空间中的开集与闭集
1.1.3Rn中集合的连通性
1.1.4Rn中的点列，点列的收敛性以及收敛点列的性质
1.1.5Rn的进一步研究
习题1.1
1.2n元函数与n元向量值函数
1.2.1n元函数
1.2.2Rn→Rm的向量值函数
习题1.2
1.3多元函数（向量值函数）的极限与连续
1.3.1向量值函数的极限
1.3.2向量值函数的连续性
1.3.3无穷小函数的阶
习题1.3
1.4多元函数的全微分及偏导数
1.4.1n元函数的全微分
1.4.2偏导数、全微分的计算
1.4.3方向导数、梯度
1.4.4数量场的梯度
1.4.5高阶偏导数
习题1.4
1.5向量值函数
1.5.1向量值函数的微分
1.5.2可微复合向量值函数的微分
习题1.5
1.6隐（向量值）函数、反（向量值）函数的存在性及其微分
习题1.6
1.7曲面与曲线的表示法、切平面与切线
1.7.1R3中的曲面
1.7.2R3中的曲线
1.7.3曲面的切平面和法线
1.7.4空间曲线及其切线和法平面
习题1.7
1.8Taylor公式
习题1.8
1.9极值与条件极值
1.9.1多元函数的极值
1.9.2条件极值
习题1.9
第1章总复习题
第2章含参积分及广义含参积分
2.1预备知识
2.1.1多元函数的一致连续性
2.1.2 广义积分的一致收敛性
习题2.1
2.2由含参积分所定义函数的微积分性质
习题2.2
2.3广义含参积分
习题2.3
第2章总复习题
第3章重积分
3.1矩形域上的二重积分
习题3.1
3.2一般平面有界集合上的二重积分
习题3.2
3.3二重积分的计算方法——累次积分法
3.3.1矩形域上二重积分的计算
3.3.2一般平面有界集上的二重积分计算——累次积分法
3.3.3二重积分的变量代换法
3.3.4二重积分在极坐标系下的累次积分法
习题3.3
3.4三重积分
3.4.1三重积分的可积性理论
3.4.2三重积分的计算——累次积分法
3.4.3三重积分的变量代换法
3.4.4三重积分在柱坐标系下的累次积分
3.4.5三重积分在球坐标系下的累次积分
习题3.4
3.5重积分的应用
3.5.1曲面的面积问题
3.5.2物体的质心问题
3.5.3转动惯量问题
3.5.4引力问题
习题3.5
第3章总复习题
第4章曲线积分与曲面积分
4.1曲线与曲面
4.1.1R2或R3中的C(1)类光滑的正则曲线
4.1.2R3中的C(1)类光滑的正则曲面
4.1.3曲线与曲面的定向
习题4.1
4.2第一类曲线积分
习题4.2
4.3第一类曲面积分
习题4.3
4.4第二类曲线积分
习题4.4
4.5第二类曲面积分
4.5.1第二类曲面积分的定义和性质
4.5.2第二类曲面积分的计算
习题4.5
4.6平面向量场、Green公式
4.6.1Green 公式
4.6.2平面第二类曲线积分与路径无关的条件，原函数
习题4.6
4.7空间向量场、Gauss公式和Stokes公式
4.7.1Gauss公式
4.7.2Stokes公式、空间第二类曲线积分与路径
无关的条件
习题4.7
第4章总复习题
第5章常数项级数
5.1无穷级数的收敛性
习题5.1
5.2非负项级数的收敛性
习题5.2
5.3任意项级数的收敛性
5.3.1任意项级数的两种收敛性
5.3.2交错项级数的收敛性
5.3.3任意项级数的收敛性
5.3.4无穷求和运算的结合律和交换律
习题5.3
5.4无穷乘积
习题5.4
第5章总复习题
第6章函数项级数
6.1函数项级数的收敛性
6.1.1函数项级数的逐点收敛性
6.1.2函数项级数的一致收敛性
习题6.1
6.2一致收敛函数项级数和函数的性质
习题6.2
6.3幂级数、函数的幂级数展开
6.3.1幂级数的收敛性与一致收敛性
6.3.2无穷可导函数的幂级数展开
习题6.3
第6章总复习题
第7章Fourier级数
7.1形式Fourier级数
7.1.1内积与内积空间
7.1.22π周期函数的形式Fourier级数
7.1.3其他周期函数的形式Fourier级数
习题 7.1
7.2Fourier级数的性质及收敛性
7.2.1Fourier级数的性质
7.2.2形式Fourier级数的逐点收敛性
7.2.3形式Fourier级数的平方平均距离
7.2.4形式Fourier级数的最优性
7.2.5形式Fourier级数的平方平均逼近
习题7.2
第7章总复习题
部分习题答案
索引
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