医学图像处理主要研究如何从医学影像中获取图像的内在规律，为临
床医生提供更清晰、更精确的信息, 以利于对疾病进行准确的诊断, 从而制
定出合理有效的治疗方案. 本书重点介绍与医学图像处理相关的数学模
型，特别是基于偏微分方程方法的模型，同时介绍一些有效的快速算法. 一
方面我们把传统的知识讲得尽可能清楚些、透彻些，把一些常见的数学模
型介绍得尽可能详细些、完整些；另一方面，还特别介绍了一些当前最新
的进展，这部分内容可以让读者很快接触到本领域的研究前沿.
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《医学图像处理中的数学理论与方法》适合应用数学、图像处理、医学影像学等相关专业的高年级本科生、研究生及研究人员使用.
目录
《信息与计算科学丛书》序
剐吾
第1章 预备知识 1
1.1 变分法和梯度下降流 1
1.1.1 能量泛函的变分计算 1
1.1.2 梯度下降流 2
1.1.3 形状导数相关的梯度下降流 3
1.2 平面曲线理论 5
1.2.1 用参数表示的曲线 5
1.2.2 用水平集形式表示的曲线 7
1.3 概率统计基本知识 8
1.3.1 概率论基本概念 8
1.3.2 统计学基本方法 15
1.4 信息论基本知识 16
1.5 再生核希尔伯特空间 19
第2章 图像去噪 22
2.1 引言 22
2.2 图像去噪的TV模型 23
2.3 Bregman迭代的TV正则化模型 26
2.3.1 与迭代正则化模型相关的工作——LOT模型 26
2.3.2 迭代的TV正则化模型 27
2.3.3 与Bregman迭代的关系 28
2.4 实验仿真 29
2.5 阶梯效应的消除 30
2.5.1 LOT模型的一个改进 30
2.5.2 耦合梯度保真的偏微分方程模型 36
2.6 TV模型的一个推广——非局部正则棋型 42
2.6.1 非局部正则项 42
2.6.2 非局部正则化模型 43
2.7 去除乘性噪声的几个基本模型 46
2.7.1 RLO模型 46
2.7.2 AA模型 47
2.7.3 Log-TV模型 48
2.7.4 SO模型 49
2.8 去除乘性噪声的非局部正则模型 50
2.8.1 模型1及算法 50
2.8.2 模型2及算法 53
2.9 小结 57
第3章 基于边缘的图像分割 58
3.1 引言 58
3.2 蛇模型 58
3.2.1 蛇模型 58
3.2.2 GVF snake模型 59
3.3 测地活动轮廓模型及其推广 63
3.3.1 测地活动轮廓模型 63
3.3.2 GAC模型的推广 65
3.4 水平集方法 66
3.4.1 水平集方法的基本概念 66
3.4.2 嵌入函数的选用和初始化 68
3.4.3 自然延拓和重新初始化 68
3.4.4 水平集方法的优点 69
3.5 变分水平集方法 69
3.5.1 变分水平集方法的基本概念 69
3.5.2 改进的变分水平集方法 70
3.6 具有先验形状信息的基于边缘的图像分割模型 72
3.7 小结 74
第4章 基于区域的图像分割：一般方法 76
4.1 Mumford-Shah模型 76
4.2 Chan-Vese模型 78
4.2.1 两相C-V模型 78
4.2.2 多相C-V模型 81
4.3 一个既基于边缘又基于区域的图像分割模型 83
4.4 小结 87
第5章 基于区域的图像分割：统计与信息论的方法 88
5.1 带参数概率密度估计的活动轮廓模型 88
5.1.1 MLE方法 89
5.1.2 MAP方法 90
5.2 非参数概率密度估计的活动轮廓模型：统计的方法 94
5.2.1 非参数概率密度估计的方法 94
5.2.2 非参数统计模型 96
5.3 非参数概率密度估计的活动轮廓模型：信息论的方法 100
5.4 注记 103
5.5 小结 104
第6章 图像配准：基本概念 106
6.1 什么是图像配准 106
6.2 配准的定义及分类 107
6.3 配准的基本方式 108
6.3.1 刚性变换 109
6.3.2 仿射变换 111
6.3.3 可形变变换 112
6.4 几种常见的医学图像模态 113
6.5 小结 116
第7章 可形变的图像配准 117
7.1 单模态下的配准模型 117
7.2 逆一致可形变的图像配准 119
7.3 多模态下的配准模型：信息论方法 122
7.4 多模态下的配准模型：统计方法 125
7.4.1 基于瑞利度量的配准模型 125
7.4.2 基于瑞利度量模型的计算 126
7.4.3 统计相关性的一点补充 128
7.5 小结 129
第8章 核磁共振图像重构 131
8.1 核磁共振图像的数学模型 131
8.2 压缩传感 132
8.2.1 信号的稀疏表示 133
8.2.2 压缩传感理论 133
8.3 基于小波变换基的MR图像重构 134
8.3.1 基于小波基的重构模型 134
8.3.2 快速算法 135
8.4 基于冗余字典的MR图像重构 139
8.4.1 冗余字典 139
8.4.2 基于冗余字典的重构模型 140
8.4.3 快速算法 141
8.5 小结 145
第9章 扩散核磁共振成像 146
9.1 引言 146
9.2 DMRI简介及基本概念 l47
9.3 DTI 150
9.3.1 DTI的主要原理 150
9.3.2 计算简介及张量估计 151
9.3.3 基于Navier-Stokes流体力学的DTI跟踪 157
9.4 HARDI 157
9.4.1 扩散ODF的分析重建 158
9.4.2 高阶张量场上的Finsler几何及其在HARDI上的应用 159
9.5 小结 161
参考文献 163
索引 170
《信息与计算科学丛书》已出版书目 172
第1 章预备知识
本章主要介绍本书中要用到的一些数学知识和方法, 包括变分法和梯度下降
流、平面曲线理论、概率统计基本知识、信息论基本知识以及再生核希尔伯特空间
的相关知识. 其中变分法和梯度下降流是贯穿整本书的方法基础, 平面曲线理论是
学习图像分割的基础, 概率统计、信息论基本知识与再生核希尔伯特空间在图像分
割与配准模型建立和计算中起到重要的作用.
1.1 变分法和梯度下降流
本节主要介绍三部分内容：能量泛函的变分计算、能量泛函的一阶变分所对应
的梯度下降流和形状导数相关的梯度下降流.
1.1.1 能量泛函的变分计算
数. 加托导数是微分学中方向导数的概念的推广.
定义1.1 假设X 是一个巴拿赫空间, E : X ! R, E 在u 点沿着v 方向的
加托导数定义为
E0(u; v) = lim
t!0
E(u + tv) ? E(u)
t
; (1.1.9)
如果对于任意的v 2 X, 此极限存在, 则称E 在u 2 X 有加托导数.
若E 有加托导数, 且极小化问题min
v2X
E(v) 有解u, 那么
E0(u) = 0:
反之, 若E 是凸的, 那么E0(u) = 0 的解u 是极小化问题的解. 称
E0(u) = 0 或
E
u
= 0 (1.1.10)
为欧拉{拉格朗日(Euler-LAgrAnge, E-L) 方程.
1.1.2 梯度下降流
变分问题
min
u2X
E(u) (1.1.11)
所对应的梯度下降流为
@u
@t
= ?
E
u
; (1.1.12)
其中?
E
u
是能量泛函E 下降/减小的方向.
这是由于一方面,
E0(u; v) = lim
t!0
E(u + tv) ? E(u)
t
= ?
E
u
vdx: (1.1.13)
当E0(u; v) < 0 时, 能量是减小的.
另一方面, 又注意到式(1.1.7) 中v 是任意的, 不妨设v = @u
@t
, 此时若
@u
@t
=
?
E
u
, 则E0(u; v) < 0, 且E 下降得最快.
下面介绍另外一种计算能量泛函E 所对应的梯度下降流的方法.
引入时间变量t, 则能量泛函是关于时间变量的函数, 即
E(u(x; t)) = ?
f(x; u(x; t);ru(x; t))dx; (1.1.14)
下面将E(u(x; t)) 简记为E(t).
一般来说, 需要求能量泛函E 的极小化问题, 那么能量泛函必须随着时间t 的
增加而减小, 即需要
@E
@t
< 0, 而
@E
@t
= ?
?
@f
@u
ut + @f
@?
(ru)t
?
dx
= ?
?
@f
@u
ut ?
X
i
@
@xi
3@f
@?
?
ut
?
dx + @?
@f
@?
utds
= ?
?
@f
@u
?
X
i
@
@xi
3@f
@?
??
utdx: (1.1.15)
式(1.1.15) 中第二个等式用到了Green 公式, 其中? 表示? 的边界@? 的外法向
量, 第三个等式用到了NeumAnn 边界条件
@f
@?
= 0: (1.1.16)
为了使
@E
@t
< 0, 选取
@u
@t
= ?
?
@f
@u
?
X
i
@
@xi
3@f
@?
??
: (1.1.17)
这与先求E-L 方程, 再通过梯度下降的方法求能量泛函的梯度下降流所得的结果
是一致的. 这种方法也常常用来求能量泛函极值问题的梯度下降流.
1.1.3 形状导数相关的梯度下降流
本节主要介绍对于下列形式的能量泛函, 如何求它的极小化问题的解, 即如何
求曲线c 的梯度下降流
E(c) = R(c)
f(?(c))dx; (1.1.18)
其中?(c) = R(c)
g(x; ^x)d^x, g 是不依赖于c 的函数, R 是曲线c 的内部区域. 注意
到此能量泛函的被积函数f 仍依赖于曲线c 或曲线c 的内部区域R, 称这样的能
量泛函为嵌套的区域积分.
引入时间变量t, 将能量泛函(1.1.18) 重新写为
E(c(t)) = R(c(t))
f(?(x; t))dx; (1.1.19)
其中?(x; t) = R(c(t))
g(x; ^x)d^x.
首先, 我们先看如下形式的区域积分：
E(c(t)) = R(c(t))
f(x)dx; (1.1.20)
其中被积函数f(x) 不依赖于曲线c 和时间t.
对E 关于时间t 求导, 并将区域积分转化为曲线积分得
dE(c(t))
dt
= c(t)
hct; f(x)Noutids; (1.1.21)
其中Nout 表示曲线c 的单位外法向量. 因此, 曲线c 的梯度下降流为
@c(t)
@t
= ?f(x)Nout = f(x)Nin; (1.1.22)
其中Nin 表示曲线c 的单位内法向量.
然后, 我们来看能量泛函(1.1.19). 令'(x; t) = f(?(x; t)), 则能量泛函(1.1.19)
可写成
E(c(t)) = R(c(t))
'(x; t)dx: (1.1.23)
那么
@E(c(t))
@t
= R(c(t))
't(x; t)dx + c(t)
hct; '(x; t)Noutids; (1.1.24)
其中't(x; t) = @f(?(x; t))
@t
= f0(?(x; t))?t(x; t).
由于?(x; t) 具有能量(1.1.20) 的形式, 其被积函数不依赖于曲线c, 则
?t(x; t) = c(t)
hct; g(x; c)Noutids: (1.1.25)
将(1.1.25) 代入(1.1.24) 得
@E(c(t))
@t
= R(c(t))
f0(?(x; t)) c(t)
hct; g(x; c)Noutidsdx + c(t)
hct; f(?(x; t))Noutids
= R(c(t)) c(t)
hct; f0(?(x; t))g(x; c)Noutidsdx + c(t)
hct; f(?(x; t))Noutids
= c(t)
D
ct;
h
f(?(x; t)) + R(c(t))
f0(?(x; t))g(x; c)dx
i
Nout
E
ds: (1.1.26)
因此, 曲线c 的梯度下降流为
@c(t)
@t
=?
h
f(?(c)) + R(c(t))
f0(?(x; t))g(x; c)dx
i
Nout
=
h
f(?(c)) + R(c(t))
f0(?(x; t))g(x; c)dx
i
Nin: (1.1.27)
1.2 平面曲线理论
本节主要介绍平面曲线理论知识, 包括用参数表示的曲线和用水平集表示的曲
线两部分内容. 它们是学习图像分割模型的基础.
1.2.1 用参数表示的曲线
设c(p) = (x(p); y(p)) 是R2 上一条正则有向曲线, 其中p 2 [0; 1] 为曲线的参
数. 记曲线在p 点处的切向量为
T(p) , c0(p) = (x0(p); y0(p)); (1.2.1)
其单位切向量为
T(p) = c0(p)
jc0(p)j
; (1.2.2)
相应的内法向量为
N(p) = (?y0(p); x0(p)); (1.2.3)
其单位内法向量为
N(p) =
(?y0(p); x0(p))
jc0(p)j
: (1.2.4)
从起点p0 = 0 到p 点所经过的距离, 即曲线的弧长, 为
s(p) = p
0
jc0(r)jdr: (1.2.5)
从而有
ds
dp
= jc0(p)j: (1.2.6)
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