本书是工业和信息化部“十四五”规划教材，本书考虑到工科各专业对数值分析的实际需要，重点突出学以致用的原则，着重介绍了常用数值计算方法的构造和使用，内容包括线性代数方程组数值解法、非线性方程和方程组的数值解法、插值法与数值逼近、数值积分、矩阵特征值计算、常微分方程数值解法等同时，对数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛性、误差分析、适用范围及优缺点也作了必要的分析与介绍为辅助读者对重点知识点的深入理解，新增若干数字化教学资源，读者可通过扫描书中二维码进行拓展学习。
更多科学出版社服务，请扫码获取。
目录
前言
数值计算引论 1
0.1 研究数值分析的必要性 1
0.2 误差来源与误差概念 2
0.2.1 误差来源 2
0.2.2 绝对误差与相对误差 3
0.2.3 有效数字 4
0.3 数值计算中应注意的若干问题 5
0.3.1 防止有效数字的损失 5
0.3.2 减少计算次数 7
0.3.3 避免使用不稳定的数值方法 8
第 1 章 线性代数方程组数值解法 9
1.1 向量范数与矩阵范数 11
1.1.1 向量范数 11
1.1.2 矩阵范数 12
1.1.3 有关定理 16
1.2 Gauss消元法 19
1.2.1 Gauss消元法 19
1.2.2 Gauss-Jordan消元法 21
1.2.3 列选主元素消元法 22
1.2.4 全主元素消元法 24
1.3 三角分解法 25
1.3.1 Doolittle分解方法 29
1.3.2 Crout分解方法 32
1.3.3 Cholesky分解方法 34
1.3.4 解三对角方程组的追赶法 39
1.4 矩阵的条件数及误差分析 41
1.4.1 初始数据误差的影响及矩阵的条件数 41
1.4.2 病态问题简介 44
1.5 线性方程组的迭代解法 45
1.5.1 收敛性 47
1.5.2 Jacobi迭代 48
1.5.3 Gauss-Seidel迭代 49
1.5.4 超松弛迭代法 51
1.5.5 迭代收敛其他判别方法 54
1.6 梯度法 58
1.6.1 等价性定理 58
1.6.2 最速下降法 61
1.6.3 共轭梯度法 63
习题1 69
第 2 章 非线性方程和方程组的数值解法 73
2.1 基本问题 73
2.1.1 引言 73
2.1.2 二分法 75
2.2 不动点迭代法 77
2.2.1 不动点与不动点迭代 77
2.2.2 不动点迭代收敛阶 78
2.2.3 计算效率 84
2.3 Newton迭代法 84
2.3.1 基于反函数 Taylor 展开的迭代法 84
2.3.2 Newton迭代法 85
2.3.3 Newton迭代法的修正 88
2.3.4 重根上的 Newton迭代法 90
2.3.5 割线法 92
2.4 非线性方程组的数值解法 96
2.4.1 基本问题 96
2.4.2 非线性方程组的不动点迭代法 96
2.4.3 非线性方程组的 Newton 迭代法 98
2.4.4 拟Newton法 99
习题2 103
第 3 章 插值法与数值逼近 105
3.1 多项式插值 107
3.1.1 基本概念 107
3.1.2 Lagrange插值公式 108
3.1.3 Newton插值公式 114
3.1.4 等距节点的Newton插值公式 118
3.1.5 插值公式的收敛性与数值计算稳定性 120
3.1.6 Hermite插值与分段插值 124
3.2 样条插值 133
3.2.1 引言 133
3.2.2 基本概念 133
3.2.3 三弯矩插值法 136
3.2.4 三转角插值法 140
3.3 最佳平方逼近 145
3.3.1 函数的最佳平方逼近 147
3.3.2 基于正交函数族的最佳平方逼近 151
3.3.3 曲线拟合的最小二乘逼近 162
3.3.4 多项式最小二乘的光滑解 167
3.4 周期函数的最佳平方逼近 169
3.4.1 周期函数的最佳平方逼近 169
3.4.2 离散情形 171
3.4.3 周期复值函数的情形 173
3.5 最佳一致逼近 173
3.5.1 最佳一致逼近多项式的存在性 174
3.5.2 Chebyshev定理 176
3.5.3 零偏差最小问题 180
3.5.4 最佳一次逼近多项式 181
3.5.5 近似最佳一次逼近多项式 182
习题3 186
第 4 章 数值积分 190
4.1 数值积分的一般问题 190
4.1.1 问题的提出 191
4.1.2 数值积分的基本思想 192
4.1.3 代数精度与插值型求积公式 193
4.2 等距节点的Newton-Cotes公式 195
4.2.1 Newton-Cotes公式 195
4.2.2 Newton-Cotes公式数值稳定性 198
4.2.3 Newton-Cotes公式的余项 199
4.2.4 复化的Newton-Cotes公式 203
4.3 Romberg积分法 206
4.3.1 Richardson外推法 206
4.3.2 Bernoulli多项式与Bernoulli数 209
4.3.3 Euler-Maclaurin求和公式 212
4.3.4 Romberg积分 215
4.4 Gauss 求积公式 218
4.4.1 Gauss求积公式及其性质 218
4.4.2 Gauss公式的数值稳定性 222
4.4.3 Gauss-Legendre求积公式 222
4.5 带权函数的Gauss求积公式 226
4.5.1 代数精度与数值稳定性 226
4.5.2 无穷区间上的求积公式 231
4.5.3 奇异积分 234
4.6 复化的Gauss型求积公式 239
4.7 自适应积分方法 242
4.8 多重积分 244
习题4 245
第 5 章 矩阵特征值计算 248
5.1 特征值基本性质和估计 248
5.1.1 特征值问题及其性质 248
5.1.2 特征值估计 252
5.2 幂法和反幂法 255
5.2.1 幂法 255
5.2.2 加速与收缩方法 260
5.2.3 反幂法 263
5.3 Jacobi方法 267
5.3.1 旋转变换 267
5.3.2 Jacobi方法 270
5.4 Householder方法 272
5.4.1 Householder变换 272
5.4.2 对称三对角矩阵的特征值计算 277
5.4.3 特征向量的计算 280
5.5 LR和QR算法 281
习题5 285
第 6 章 常微分方程数值解法 288
6.1 初值问题数值方法的一般概念 288
6.2 Euler法 291
6.2.1 显式Euler法与隐式Euler法 291
6.2.2 Euler法的局部截断误差与精度 294
6.2.3 Euler法的稳定性 296
6.3 Runge-Kutta法 298
6.3.1 RK法的一般形式 298
6.3.2 二级RK法 299
6.3.3 四级RK法 301
6.3.4 局部截断误差的实用估计 303
6.3.5 单步法的收敛性、相容性、稳定性 304
6.4 线性多步法 308
6.4.1 线性多步法的一般形式 308
6.4.2 线性多步法的逼近准则 308
6.4.3 线性多步法阶与系数的关系 309
6.4.4 线性多步法的构造方法 310
6.5 线性多步法的收敛性 317
6.6 线性多步法的数值稳定性 323
6.6.1 差分方程解的性态 323
6.6.2 积累误差的性态 324
6.6.3 稳定性定义 325
6.7 预测-校正方法 328
6.7.1 基本思想 328
6.7.2 基本方法 329
6.7.3 预测-校正法和 RK 法的比较 333
6.8 高阶方程和方程组 334
6.9 Stiff方程简介 336
6.9.1 Stiff方程 336
6.9.2 A(α)稳定,刚性稳定 338
6.10 边值问题数值方法 340
6.10.1 打靶法 341
6.10.2 有限差分法 343
习题6 346
参考文献 349
书单推荐
