几何力学作为基于动力学系统的对称性（或对称性破缺）与保守（或非保守）性质之间映射关系的新兴学科，主要任务是发展尽可能多地保持动力学系统的固有（保守或非保守）性质的数值方法。
1687年，随着《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）一书的出版，牛顿力学宣告诞生，其最重要的贡献之一是建立了力与运动之间微分形式的解析关系。之后，拉格朗日力学和哈密顿力学两个基本框架相继为动力学问题的描述提供了新的描述范式。在拉格朗日力学框架下，动力学系统优美的数学对称性被忽略了，因此，以拉格朗日力学为基础发展的数值方法不具备保结构特性。在动力学系统中引入对偶变量，可将动力学系统在哈密顿规范形式下进行重新表述。从根本上说，牛顿力学在拉格朗日框架和哈密顿框架中的数学表达是完全等价的。但正如冯康先生所理解的，对于同一个动力学问题，由等价的数学表述形式得到的分析结果并不一定完全等价。
长期以来，经典的数值方法，无论是著名数学家欧拉（Leonhard Euler）提出的欧拉差分格式，还是计算数学中广泛使用的龙格库塔（RungeKutta）法，共同的目标都是提高数值方法的精度。然而在这个过程中，数学模型所描述的力学系统的几何特性却被忽略了。从根本上讲，描述动力学系统的微分方程是连续的，而其数值方法对应的系统是离散的。基于此观点，数值模拟理应在力学系统的同一几何框架下进行，并尽可能地保持原力学系统的定性性质，以提高数值解的长期数值稳定性。
在忽略所有耗散效应的情况下，一切物理过程都可以表述为能量守恒的哈密顿形式。这一结论的提出，一方面哈密顿力学的重要地位得到了提升； 另一方面也对哈密顿系统的数值分析提出了更高的要求，即对哈密顿系统的数值分析结果应能够再现其几何性质，包括第一积分、辛结构以及能量守恒定律。20世纪80年代，冯康提出了有限维哈密顿系统的辛方法，开创了计算几何力学(又称为保结构方法)。在过去的半个世纪里，辛方法的保结构特性已经被许多研究者所报道。为了研究连续力学系统的局部动力学行为，Thomas J.Bridges和Jerrold E.Marsden将有限维哈密顿系统的辛方法推广至无限维哈密顿系统的多辛方法。其重要贡献在于，对无限维哈密顿系统构造了时空联合辛结构，称为多辛结构； 并证明了在保持多辛结构的情况下，数值分析可以很好地再现无限维哈密顿系统的局部动力学行为。
回顾哈密顿系统的定义不难发现，哈密顿力学的局限性在于忽视了力学系统的耗散效应，这意味着基于哈密顿系统的分析方法不能用于解决实际工程中存在各种耗散效应的力学问题。基于此，本书作者提出了广义多辛框架来解决这一问题，这正是本书的主要理论贡献。广义多辛理论框架在几何力学和工程问题之间架起了一座桥梁，基于这一纽带，本书介绍了大量广义多辛分析方法在实际工程问题中的应用实例。
本书章节结构如下。第1章简要介绍了几何力学的起源和发展。第2章介绍了辛方法的数学基础和几个辛方法的例子。第3章中回顾了多辛理论，并介绍了多辛方法在无限维哈密顿系统中的若干应用。第4章将保守系统保结构思想推广到非保守系统，介绍了广义多辛积分方法及其在波传播问题中的应用。第5~7章介绍了保结构方法，包括辛方法、多辛方法、广义多辛方法和复合保结构方法在冲击动力学问题、微/纳米动力学系统和航天动力学系统中的应用。当然，限于篇幅，本书并未包含几何力学的全部理论和应用。
本书的主要内容是基于作者团队近20年的研究成果整理而成。为使本书的内容更加系统，本书对其他著作和论文阐述的几何力学相关基础知识也进行了综述。需要说明的是，虽然在与本书相关的论文中，中国兵器科学研究院肖川研究员未被列为合著者，但为了感谢他在将保结构方法应用于冲击动力学问题方面的重要贡献，将他列为本书的合著者。
感谢大连理工大学钟万勰院士、浙江大学朱位秋院士、德国锡根大学张传增院士、中国科学院崔俊芝院士、利物浦大学欧阳华江教授、加拿大英属哥伦比亚大学James J.Feng教授、英国萨里大学Thomas J.Bridges教授、美国圣泽维尔大学AbdulMajid Wazwaz教授、清华大学冯西桥教授、香港城市大学林志华教授、美国得克萨斯大学里约热内卢格兰德谷分校乔志军教授、大连理工大学彭海军教授、河北经贸大学王岗伟博士、日本庆应大学彭林玉博士和美国中佛罗里达大学Brian Moore博士在本书的编写工作中给予的无私帮助。
本书的出版受到西安理工大学西北旱区生态水利国家重点实验室资助。同时感谢国家自然科学基金(12172281、11972284、11672241、11432010、11872303、11372253、11002115)、陕西省杰出青年科学基金(2019JC29)、军科委基础加强计划173基金(2021JCJQJJ0565)、陕西省科技创新团队(2022TD61)和陕西高校青年教师创新团队的资助。
特别感谢陕西省科技创新团队(先进设备关键动力学与控制)和陕西高校青年教师创新团队(空间太阳能电站动力学与控制)成员在本书的出版中做出的贡献。谨向师俊平教授、曹小杉教授、胡义锋副教授、张帆副教授、王震博士、徐萌波博士、淮雨露博士、惠小健博士、章培军博士和团队所有同学表示衷心的感谢，谢谢大家无私的帮助和鼓励。
限于作者的知识，书中的错漏之处难以避免，其错漏之处将在以后的工作中得以订正。
西安理工大学胡伟鹏
中国兵器科学研究院肖川
西北工业大学邓子辰
中国西安
2022年1月
第1章绪论
1.1几何力学的生命力
1.1.1从线性谐振子的欧拉法开始
1.1.2数学摆模型St-rmer-Verlet格式的探讨与改进
1.2从拉格朗日力学到哈密顿力学
1.2.1拉格朗日力学
1.2.2哈密顿力学
1.3几何力学的灵魂几何积分
参考文献
第2章有限维系统的辛算法
2.1辛方法的数学基础
2.2典型的辛离散化方法
2.2.1辛龙格库塔法
2.2.2分裂离散方法
2.3辛方法在力学问题中的应用
2.3.1起落架折叠和展开过程辛精细积分方法研究
2.3.2航天动力学问题的辛龙格-库塔法
参考文献
第3章无限维哈密顿系统的多辛方法
3.1波动方程的多辛描述
3.2多辛理论的数学基础
3.2.1辛和逆辛的对合与可逆性
3.2.2动量与能量守恒性
3.2.3多辛结构与多辛守恒律
3.2.4哈密顿泛函
3.2.5多辛理论的一个更普遍的描述
3.3典型的多辛离散方法
3.3.1显式中点格式
3.3.2欧拉Box格式
3.4多辛方法在波传播问题中的应用
3.4.1膜自由振动方程的多辛分析方法
3.4.2广义五阶KdV方程的多辛方法
3.4.3广义(2 1)维KdV-mKdV方程的多辛方法
3.4.4朗道-金兹堡-希格斯方程的多辛龙格-库塔法
3.4.5广义波希尼斯克方程的多辛方法
3.4.6(2 1)维波希尼斯克方程孤立波共振的多辛模拟方法
3.4.7准Degasperis-Procesi方程peakon-antipeakon碰撞的多辛模拟方法
3.4.8对数KdV方程高斯孤立波解的多辛分析
参考文献
第4章非保守系统的动力学对称破缺和广义多辛方法
4.1动力学对称破缺简介
4.2从多辛积分到广义多辛积分
4.3无限维动力学系统的对称破缺
4.4广义多辛分析方法在波传播中的保结构性质初探
4.4.1关注伯格斯方程局部守恒性质的隐式差分格式
4.4.2KdV-伯格斯方程中的几何色散与黏性耗散的竞争关系
4.4.3复合KdV-伯格斯方程的广义多辛离散化
4.4.4周期扰动下具有弱线性阻尼的非线性薛定谔方程近似保结构分析
参考文献
第5章冲击动力学系统的保结构分析方法
5.1冲击动力学研究进展介绍
5.1.1受轴向冲击的柱和壳
5.1.2横向冲击载荷作用下的梁和板
5.1.3冲击或爆炸载荷作用下的夹层结构
5.1.4冲击载荷下的多孔材料
5.2脉冲爆震发动机中燃料黏度引起的能量损失
5.3冲击作用下非均匀中心对称阻尼板内的波传播问题
5.4冲击作用下非均匀非对称圆板内的波传播问题
参考文献
第6章微纳米动力学系统的保结构分析
6.1嵌入式单壁碳纳米管中的混沌现象
6.2阻尼悬臂单壁碳纳米管振荡器的能量耗散
6.3嵌入式载流单壁碳纳米管的混沌特性
6.4弹性约束的单壁碳纳米管的混沌特性
6.5嵌入式单壁碳纳米管轴向动力学屈曲的复合保结构分析方法
参考文献
第7章航天动力学系统的保结构分析
7.1空间柔性阻尼梁的耦合动力学行为研究
7.2非球摄动下空间柔性阻尼梁动力学行为
7.3空间柔性梁所需的最小振动控制能量问题
7.4空间在轨绳系系统的能量耗散/转移与稳定姿态
7.5空间绳系系统中柔性梁的内共振现象
7.6中心刚体-主动伸长柔性梁系统的耦合动力学行为
7.7由四根弹簧单边约束的空间柔性阻尼板内的弹性波传播特性研究
参考文献
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