2022考研数学历年真题分题型详解（数学二）（毛纲源）_毛纲源_9787568071000

本书在教育部制定的考研数学考试大纲的指导下，依据考试大纲的编排顺序，按考点对历年（20022021）真题分类，对各类题型进行详细归纳和总结，给出了各类题型的解题思路、方法和技巧，使考生能达到举一反三、触类旁通的能力。同时，考生通过本书复习时，有助于掌握历年试题的核心内容，便于发现考研数学试题反复出现的共性问题，能从共性问题中发现命题规律和命题趋势，找出考点之间的有机联系，明确各部分考点内容的重点、难点。本书在理论推导和文字叙述等方面由浅入深，易于接受，真题解答详尽，便于自学；本书尽量做到一题多解，并对每一道真题给出解题思路，以便更好地提高考生的解题能力。

自1987年全国工学、经济学硕士研究生入学考试实行统考以来已有35载.这35年的考研试题是考生了解、分析和研究全国硕士研究生入学考试直接、宝贵的手资料，也是命题组专家们的智慧结晶.而拥有一套内容丰富、题型全面、讲解详尽的历年数学真题分类解析，则是广大考生的殷切期盼.

本书按照全国硕士研究生招生考试数学二考试大纲的要求编写，对20022021年考研真题逐题给出详细解答，且绝大部分真题给出了一题多解.书中有很多试题的解法是笔者在从事数学教学和考研数学辅导班的实践中研究、总结出来的，其中有些试题的解法比标准答案的解法更简捷.

本书将历年考研数学二试题依据考试大纲的次序，按试题考点内容分章，且将历年同一考点的试题归纳在一起，分题型讲解.考生复习时，只要认真分析、了解、消化和掌握历年试题的核心内容，便能发现考研数学试题总是反复出现共性，考生也能从这些共性中发现命题规律和命题趋势，找出考点之间的有机联系，明确各部分考点内容的重点、难点.

本书具有下述特点.

1. 一题多解、内容丰富对大部分真题，首先给出解题思路，介绍该题应如何下手，以提高考生的解题能力.对绝大多数考题都给出一题多解，其目的是帮助考生扩大视野，让考生熟悉各考点之间的有机联系，促使各考点融会贯通，提高考生对考点理解的深度与广度，从而综合提高考生的应试能力，有利于考研数学成绩的提高.对于考生的答题错误，还给出错解分析，帮助考生分析错因，使其引以为戒，远离解题误区.为了帮助备考数学二的考生更全面地了解考点相关内容的命题情况，本书还精选了数学一、数学三相关内容的典型考题，同时也精选了2002年及其以前数学二相关内容的典型考题，并给出了解答，供备考数学二的考生复习之用（这些考题均未标上年份及数学一、数学三的类别）.

2. 题型细分，有利于提高应试能力本书按考点对历年真题分类，对各类题型进行详细归纳和总结，给出了各类题型的解题思路、方法和技巧，使考生能举一反三，触类旁通，从而提高应试能力.此外，通过考点题型真题解题思路精解（一题多解）考查知识点这一过程的学习，考生可以了解到每一考点中已考过的题型，这种题型考过什么样的题目，常与哪些知识点联合命题，从哪个角度命题，等等，从而使考生更好、更快地掌握命题重点和规律，快速提高解题能力.

3. 真题解答详尽，适于自学编写此书时，在理论推导和文字叙述等方面尽量做到由浅入深，易于接受，便于自学.本书给备考数学二的考生提供了锻炼自己解题能力和检验自己数学水平的机会，笔者建议阅读本书前应先认真阅读考试大纲，以明确数学二考试的有关要求，接着再阅读有关教材和参考书.在这里特向读者推荐由本人编写的《考研数学常考题型解题方法技巧归纳（数学二）》.

该书对考试大纲中所要求的基本概念、基本定理和基本计算公式都作了全面介绍，对各类题型的解题思路、方法和技巧进行了归纳总结，复习完后再来看本书以检测自己的水平，建议考生将本书中的全部试题做两到三遍，直到对所有题一看就能熟练、正确地解答出来.历年考研数学二的试题在附录中给出，供考生自测和查阅之用，其详解在正文的位置全部标明.

由于时间仓促，加上水平有限，书中难免有许多疏漏之处，敬请广大读者和专家不吝指正.

祝广大考生复习顺利，考研成功！圆入名校之梦！

第1部分高等数学

第1章函数、极限与连续(3)

考点1.1.1函数的概念及其性质(3)

题型1.1.1.1求分段函数的复合函数(3)

题型1.1.1.2求反函数的表示式(3)

题型1.1.1.3判别函数的奇偶性(3)

题型1.1.1.4判别变上限积分函数F(x)=x0f(t)dt的奇偶性(4)

题型1.1.1.5判别（证明）函数的周期性(5)

考点1.1.2极限的概念与基本性质(6)

题型1.1.2.1正确理解极限定义中εNεεX语言的含义(6)

题型1.1.2.2运用极限的保序性、保号性求解有关问题(6)

题型1.1.2.3数列极限的概念及其运算性质(7)

考点1.1.3求函数极限(7)

题型1.1.3.1求00型或型未定式极限(8)

题型1.1.3.2求-型未定式极限(12)

题型1.1.3.3求幂指函数型（00型、0型、1型）未定式极限(12)

题型1.1.3.4求含根式和或根式差的未定式极限(15)

题型1.1.3.5求需先考查左、右（单侧）极限的函数极限(16)

题型1.1.3.6求含指数函数差因子的函数极限(16)

题型1.1.3.7利用夹逼准则求函数极限(17)

考点1.1.4数列极限(17)

题型1.1.4.1数列极限存在性的判定(17)

题型1.1.4.2由递推关系式定义的数列极限存在性的证明及其极限的求法(18)

题型1.1.4.3求数列极限(20)

题型1.1.4.4求积和式的极限(23)

考点1.1.5无穷小量或无穷大量的比较(26)

题型1.1.5.1无穷小量阶的比较(26)

题型1.1.5.2无穷大量阶的比较(29)

考点1.1.6已知一极限，确定待定常数、待定函数或另一待求极限(30)

题型1.1.6.1已知极限式的极限反求其所含的未知参数(30)

题型1.1.6.2已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限(38)

考点1.1.7讨论函数的连续性及间断点的类型(39)

题型1.1.7.1讨论函数的连续性(39)

题型1.1.7.2判别函数f(x)的间断点的类型(41)

题型1.1.7.3利用连续性确定待定常数(45)

题型1.1.7.4利用函数的连续性证明方程实根的存在性(45)

第2章一元函数微分学(48)

考点1.2.1导数定义的应用(48)

题型1.2.1.1讨论函数在某点的可导性(48)

题型1.2.1.2讨论分段函数的可导性及其导数的求法(50)

题型1.2.1.3利用导数定义求极限或导数(51)

题型1.2.1.4利用导数定义讨论函数性质(52)

考点1.2.2讨论含值函数的可导性(54)

题型1.2.2.1讨论值函数|f(x)|的可导性(54)

题型1.2.2.2讨论函数f(x)=|(x)|g(x)的可导性(55)

考点1.2.3求一元函数的导数和微分(57)

题型1.2.3.1求隐函数的导数(57)

题型1.2.3.2求反函数的导数(59)

题型1.2.3.3求由参数方程所确定的函数的导数(59)

题型1.2.3.4求某些简单函数的高阶导数(62)

题型1.2.3.5求一元函数的微分(64)

考点1.2.4利用微分中值定理证明中值等式(66)

题型1.2.4.1利用罗尔定理证明中值等式(66)

题型1.2.4.2拉格朗日中值定理在证明与中值等式有关问题上的应用(69)

题型1.2.4.3柯西中值定理的应用(71)

题型1.2.4.4求解高阶导数中值满足的等式(72)

考点1.2.5利用导数和极限讨论函数的性态(73)

题型1.2.5.1判定函数的单调性(73)

题型1.2.5.2函数极值点的判定(75)

题型1.2.5.3利用极限式判定函数是否取得极值(77)

题型1.2.5.4利用方程或函数导数图形讨论函数是否取得极值，其曲线是否有拐点(78)

题型1.2.5.5求曲线的凹凸区间与拐点(79)

题型1.2.5.6求函数f(x)在区间［a,b］上的值(84)

题型1.2.5.7求函数的极值(85)

题型1.2.5.8求曲线的渐近线(86)

题型1.2.5.9确定函数方程存在实根(90)

考点1.2.6利用导数证明函数不等式(93)

题型1.2.6.1证明函数不等式(93)

题型1.2.6.2证明数值不等式(96)

考点1.2.7导数的几何和物理应用(100)

题型1.2.7.1平面曲线方程由显函数y=f(x)给出，求其切线和法线方程(100)

题型1.2.7.2曲线方程由隐函数方程F(x,y)=0给出，求其切线或（和）法线方程(101)

题型1.2.7.3曲线方程由参数方程x=x(t)

y=y(t)给出，求其切线与法线(102)

题型1.2.7.4曲线方程由极坐标方程r=r()给出，求其切线与法线方程(103)

题型1.2.7.5求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题(104)

题型1.2.7.6求解与两曲线相切有关的问题(105)

题型1.2.7.7求解与曲率有关的问题(105)

题型1.2.7.8求解与变化率有关的问题(107)

第3章一元函数积分学(109)

考点1.3.1计算不定积分(109)

题型1.3.1.1已知某函数或其导数，求其原函数(109)

题型1.3.1.2计算被积函数中含有对数函数的不定积分(110)

题型1.3.1.3求被积函数含反三角函数的不定积分(111)

题型1.3.1.4求被积函数为两类不同函数乘积的不定积分(111)

题型1.3.1.5计算有理分式函数的不定积分(112)

考点1.3.2计算定积分(113)

题型1.3.2.1用分部积分法或分项法计算定积分(113)

题型1.3.2.2计算需用换元法计算的定积分(114)

题型1.3.2.3利用定积分的重要特性简化计算定积分(116)

题型1.3.2.4计算被积函数含抽象函数导数或被积函数导数已知的积分(118)

题型1.3.2.5计算分段函数的定积分(119)

题型1.3.2.6比较和估计定积分的大小(120)

考点1.3.3变限积分(122)

题型1.3.3.1求含变限积分的函数导数(123)

题型1.3.3.2求分段函数的变限积分(124)

题型1.3.3.3求与变限积分有关的极限(125)

题型1.3.3.4求变限积分函数的定积分(127)

题型1.3.3.5讨论变限积分函数的性质(127)

考点1.3.4计算反常积分（广义积分）(129)

题型1.3.4.1无穷限反常积分敛散性判别及其计算(129)

题型1.3.4.2计算无界函数的反常积分(132)

题型1.3.4.3判别混合型反常积分的敛散性(134)

考点1.3.5定积分在几何和物理上的应用(136)

题型1.3.5.1计算平面图形的面积(137)

题型1.3.5.2已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得旋转体的侧面积(表面积)(140)

题型1.3.5.3已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得的旋转体体积(142)

题型1.3.5.4求平面图形绕平行坐标轴的直线旋转所得的旋转体体积(147)

题型1.3.5.5计算平行截面面积已知的立体体积(148)

题型1.3.5.6计算平面曲线的弧长(149)

题型1.3.5.7求解定积分的应用与值问题相结合的综合题(150)

题型1.3.5.8求函数在区间上的平均值(151)

题型1.3.5.9定积分在物理上的应用(152)

第4章多元函数微分学(156)

考点1.4.1多元函数微分学中若干基本概念及其联系(156)

题型1.4.1.1多元函数微分学中几个基本概念(156)

题型1.4.1.2二元函数在某点极限存在、连续、可偏导及可微的关系(158)

考点1.4.2计算多元函数的偏导数和全微分(159)

题型1.4.2.1求多元显函数的偏导数或全微分(159)

题型1.4.2.2求抽象复合函数的偏导数或全微分(161)

题型1.4.2.3利用隐函数存在定理确定隐函数(164)

题型1.4.2.4求隐函数的偏导数或全微分(165)

题型1.4.2.5求二元函数的二阶混合偏导数或全微分(167)

题型1.4.2.6求含变限积分的二元函数的偏导数(169)

题型1.4.2.7已知偏导数所满足的方程，求待定函数或参数(169)

考点1.4.3多元函数的极值与值(173)

题型1.4.3.1二元函数无条件极值的判别及其求法(174)

题型1.4.3.2求二（多）元函数的条件极值(178)

题型1.4.3.3求二元函数的值和小值(181)

第5章二重积分(184)

考点1.5.1计算直角坐标系下的二重积分(184)

题型1.5.1.1化二重积分为累次积分(184)

题型1.5.1.2交换二次积分的积分次序(186)

题型1.5.1.3利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算(188)

题型1.5.1.4计算需分区域计算的二重积分(190)

题型1.5.1.5比较二重积分的大小(194)

考点1.5.2用极坐标系计算二重积分(195)

题型1.5.2.1计算圆域或部分圆域上的二重积分(196)

考点1.5.3转换坐标系计算二重积分(199)

题型1.5.3.1将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分计算(199)

题型1.5.3.2将极坐标系下的二重积分转换为直角坐标系下的二次积分计算(203)

考点1.5.4二重积分的应用(204)

题型1.5.4.1求质心、形心的坐标(204)

第6章常微分方程(207)

考点1.6.1求解一阶微分方程(207)

题型1.6.1.1求解可分离变量的微分方程(207)

题型1.6.1.2求解齐次方程(208)

题型1.6.1.3求解一阶线性方程(208)

考点1.6.2求解高阶常系数线性微分方程(213)

题型1.6.2.1利用解的结构和性质求解微分方程(213)

题型1.6.2.2求解可降阶的微分方程(214)

题型1.6.2.3求解高阶常系数线性齐次微分方程的通解(217)

题型1.6.2.4确定二阶常系数非齐次微分方程的特解形式(218)

题型1.6.2.5求解二阶常系数非齐次线性方程或反求其常系数(220)

题型1.6.2.6求解含变限积分的方程(220)

题型1.6.2.7求在变量代换下微分方程的变形，并求其解(221)

考点1.6.3已知微分方程的通（特）解反求该微分方程(222)

题型1.6.3.1已知微分方程的通（特）解,反求该齐次微分方程(222)

题型1.6.3.2已知其特解或通解反求该非齐次线性方程(223)

考点1.6.4微分方程的应用(224)

题型1.6.4.1微分方程在几何上的应用(224)

题型1.6.4.2微分方程在物理上的应用(226)

第2部分线性代数

第1章行列式(231)

考点2.1.1计算数字型行列式(231)

题型2.1.1.1计算行列式中含特定项的系数(231)

题型2.1.1.2计算行（列）和相等的行列式(232)

题型2.1.1.3计算（或可化为）非零元素在一条或两条线上的行列式(232)

题型2.1.1.4计算非零元素在三条线上的行列式(234)

题型2.1.1.5计算含零子块的四分块矩阵的行列式的值(235)

题型2.1.1.6计算代数余子式之和（或线性组合）的值(236)

题型2.1.1.7一般行列式的计算(236)

考点2.1.2计算抽象矩阵的行列式(237)

题型2.1.2.1计算抽象乘积矩阵的行列式(237)

题型2.1.2.2已知一方阵的列向量组可由另一方阵的列向量组线性表示，又已知其中一

矩阵的行列式，求另一矩阵的行列式(237)

题型2.1.2.3已知一矩阵方程，求其中一矩阵的行列式的值(238)

题型2.1.2.4利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式(239)

题型2.1.2.5计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(239)

题型2.1.2.6计算抽象矩阵的线性组合的行列式(239)

题型2.1.2.7方阵的行列式是否等于零的判定或证明(240)

考点2.1.3克拉默法则的应用(241)

题型2.1.3.1求方程组AX=b的解或判定方程组AX=0只有零解(241)

题型2.1.3.2已知方程组AnnX=0只有零解，或有非零解，确定待求常数(242)

第2章矩阵(243)

考点2.2.1矩阵运算(243)

题型2.2.1.1利用矩阵乘法的结合律，计算乘积矩阵(243)

题型2.2.1.2计算方阵的高次幂(246)

题型2.2.1.3证明抽象矩阵的可逆性，如可逆并求其逆矩阵的表示式(247)

题型2.2.1.4求元素已知的矩阵的逆矩阵(248)考点2.2.2求解与伴随矩阵有关的问题(250)

题型2.2.2.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(250)

题型2.2.2.2求与伴随矩阵有关的逆矩阵(251)

题型2.2.2.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩(251)

题型2.2.2.4求伴随矩阵的表达式(252)

考点2.2.3矩阵的秩(253)

题型2.2.3.1求数字型矩阵的秩(253)

题型2.2.3.2求抽象矩阵的秩(254)

题型2.2.3.3已知矩阵秩的有关信息，求其待定常数或其所满足的关系(256)

考点2.2.4求解矩阵方程(257)

题型2.2.4.1求解含或可化为含单位矩阵加项的矩阵方程(258)

题型2.2.4.2求解含伴随矩阵A的矩阵方程(259)

题型2.2.4.3求解矩阵方程，该方程两边同含左（或右）乘可逆因子矩阵(260)

题型2.2.4.4求解系数矩阵不可逆或不能（不易）化为式(2.2.4.1)中三种类型的矩阵方程

(260)

考点2.2.5求解与初等变换有关的问题(263)

题型2.2.5.1用初等矩阵表示矩阵的初等变换(263)

题型2.2.5.2利用初等矩阵及其性质表示变换前(后)的矩阵及其性质(264)

题型2.2.5.3讨论与等价矩阵有关的问题(266)

第3章向量(268)

考点2.3.1向量的线性组合与线性表示(268)

题型2.3.1.1求解一组向量由另一组向量线性表出的有关问题(268)

考点2.3.2向量组的线性相关性(272)

题型2.3.2.1判定（证明）向量组的线性相关性(272)

题型2.3.2.2已知一向量组线性无关，判别其线性组合的向量组的线性相关性(274)

题型2.3.2.3证明向量组线性无关(275)

考点2.3.3求向量组的极大线性无关组和向量组的秩(279)

题型2.3.3.1求向量组的极大线性无关组(279)

题型2.3.3.2求解（证明）与向量组的秩有关的问题(280)

第4章线性方程组(283)

考点2.4.1判定线性方程组解的情况(283)

题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况(283)

题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况(284)

考点2.4.2基础解系(284)

题型2.4.2.1基础解系的判定或证明(284)

题型2.4.2.2基础解系和特解的求法(285)

考点2.4.3求解线性方程组(286)

题型2.4.3.1求解不含参数的线性方程组的通解(286)

题型2.4.3.2求解含参数的线性方程组AX=b(287)

题型2.4.3.3求解其通解满足一定条件的含参数的线性方程组(293)

题型2.4.3.4求解参数仅出现在常数项的线性方程组(295)

考点2.4.4抽象线性方程组的求解(295)

题型2.4.4.1已知AX=b的特解，求其通解(296)

题型2.4.4.2利用线性方程组的向量形式求其通解(297)

考点2.4.5由解的情况反求线性方程组或其参数(299)

题型2.4.5.1已知AX=0或AX=b的解的情况，反求其参数(299)

题型2.4.5.2已知方程组的基础解系，求其系数矩阵(300)

考点2.4.6求两线性方程组的公共解(301)

题型2.4.6.1已知两具体的线性方程组,求其公共解(301)

题型2.4.6.2两方程组中至少有一个方程组的通解已知，求其公共解(303)

考点2.4.7讨论两方程组同解的有关问题(304)

题型2.4.7.1证明两齐次线性方程组同解(304)

题型2.4.7.2已知两线性方程组有公共非零解或同解,求其待定常数(305)

第5章矩阵的特征值和特征向量(308)

考点2.5.1求矩阵的特征值、特征向量(308)

题型2.5.1.1求数字型矩阵的特征值和特征向量(308)

题型2.5.1.2求抽象矩阵的特征值、特征向量(309)

题型2.5.1.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量(311)

考点2.5.2求与已知矩阵的特征值、特征向量有关的问题(313)

考点2.5.3相似矩阵与相似对角化(315)

题型2.5.3.1判别（证明）两同阶方阵相似(315)

题型2.5.3.2判别方阵是否可相似对角化(318)

题型2.5.3.3相似矩阵性质的应用(320)

考点2.5.4与两矩阵相似的有关计算(321)

题型2.5.4.1已知A可相似对角化，即P-1AP=Λ,求相似对角矩阵Λ(321)

题型2.5.4.2已知矩阵A可相似对角化，求可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵(323)

题型2.5.4.3由特征值、特征向量，反求其矩阵(326)

题型2.5.4.4已知矩阵A和可逆矩阵P，求A的相似矩阵B使P-1AP=B(327)

考点2.5.5实对称矩阵性质的应用(328)

题型2.5.5.1已知实对称矩阵的一部分特征向量，求另一部分特征向量(328)

题型2.5.5.2A为实对称矩阵，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵(330)

题型2.5.5.3利用相似对角化求矩阵的高次幂(330)

第6章二次型(335)

考点2.6.1二次型的标准形和规范形(335)

题型2.6.1.1化二次型（实对称矩阵）为标准形（对角矩阵）或规范形(335)

题型2.6.1.2已知二次型的标准形（规范形），求二次型中的未知参数(340)

题型2.6.1.3求两类二次型之间相互转换的问题(344)

考点2.6.2判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性(345)

题型2.6.2.1判别二次型或其矩阵的正定性(345)

题型2.6.2.2确定参数值使二次型或其矩阵正定(347)

考点2.6.3合同矩阵与合同变换(348)

题型2.6.3.1判别（证明）两实对称矩阵合同(348)

题型2.6.3.2讨论两矩阵相似与合同的关系(350)

附录20022021年考研数学二试题(351)

2002年全国硕士研究生招生考试数学二试题(351)

2003年全国硕士研究生招生考试数学二试题(352)

2004年全国硕士研究生招生考试数学二试题(354)

2005年全国硕士研究生招生考试数学二试题(356)

2006年全国硕士研究生招生考试数学二试题(358)

2007年全国硕士研究生招生考试数学二试题(360)

2008年全国硕士研究生招生考试数学二试题(362)

2009年全国硕士研究生招生考试数学二试题(364)

2010年全国硕士研究生招生考试数学二试题(366)

2011年全国硕士研究生招生考试数学二试题(368)

2012年全国硕士研究生招生考试数学二试题(370)

2013年全国硕士研究生招生考试数学二试题(372)

2014年全国硕士研究生招生考试数学二试题(373)

2015年全国硕士研究生招生考试数学二试题(375)

2016年全国硕士研究生招生考试数学二试题(377)

2017年全国硕士研究生招生考试数学二试题(379)

2018年全国硕士研究生招生考试数学二试题(381)

2019年全国硕士研究生招生考试数学二试题(383)

2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题(384)

2021年全国硕士研究生招生考试数学二试题(386)

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