从远古时代到当今的数字世界，8本书都各自侧重于作者所擅长的数学议题。源自生活的解读和充满智性的论点让文本易于理解，在下午茶时间，不妨以一本数学小书慰藉匆忙的生活。除了精心撰写的内容，丛书独特的引文设置回溯了数学领域众多关键词与人事物的历史，讲述了动人心魄的曲折故事。要想深入了解数学如何成为日常生活的一部分，“万物皆数学”系列丛书不可或缺。
引 言
游戏和数学之间有什么关系？数学游戏除了有娱乐价值，是否能够模拟现实生活中的情境？假如从数学的角度分析某个游戏，我们需要哪些信息，又能得出什么结论？我们是否能够通过数学来研究人类行为，并且利用它做决策？
这些问题仅仅是本书将要尝试回答的一部分。这是一本有关数学和游戏的书。与其他涉及该方面的书不同，本书的内容并不是各种依靠大量技巧完成的游戏，而是在分析某些游戏的基础上，涵盖了一系列数学概念、过程和理论。
通过对相关材料的研究，本书试图表明，数学中的二分法，比如严肃数学或趣味数学、纯粹数学或应用数学，实际上就像是同一枚硬币的正反两面，甚至更确切地说，像是一个四面体的四个面。最初，游戏似乎只是一种娱乐，而我们在分析游戏的过程中引入了数学，将其变成一种纯粹的智力愉悦。由于博弈论的存在，对游戏的数理性研究就成了数学与现实情境之间关系的最相关的学科分支之一。
本书的第一章阐述这门学科的历史，梳理数学和游戏之间的历史关系；第二章和第三章分别对不含运气因素的游戏（所谓的完全信息博弈）和含有运气因素的游戏进行研究分析。在第二章中，我们通过几个策略小游戏的例子，论述了如何通过分析游戏，得出某种可能获胜的游戏方法（制胜策略），并对分析游戏过程中涉及的数学问题进行探索。在第三章中，我们探讨了游戏中基本的概率问题，赌博游戏需要计算可能性的大小，这个过程会涉及概率论的基本原理。
最后两章是对博弈论的介绍，该理论是数学的一个分支， 是由约翰.冯.诺依曼在20 世纪早期创立的。该理论从多方面研究人类行为，从而帮助人们在经济、政治、军事机构以及动物行为等领域做出最佳决策。该理论将博弈作为数学模型， 以此触发现实情境。
博弈论分析了某些困境，例如在懦夫博弈中，为了获胜， 可以冒多大的风险？以及在囚徒困境中，是保持沉默还是揭发对方？这两个经典难题反映的局面，在现实世界中的很多事件中都会出现，对抗与合作之间的冲突往往会让我们很难做出最佳抉择。即使我们无法利用数学找到明确的解决办法，但是在对不同可能性、对抗风险和合作优势的量化过程中，如何摆脱困境，也会逐渐明了起来。
第三章
运气游戏
本章重点论述游戏和概率之间的关系。当人类尝试模拟或预测某些像运气这样看似无序的东西时，这种关系就已经出现了。在此之前，数学家关注的一直是确定而规律的领域，相关研究有所保障。可以说，概率计算方法的出现开创了数学界的新纪元。我们逐渐发现，其应用之处越来越多，涉及领域越来越广。直到现在，我们用数学研究和模拟的不仅是概率，还包括其他不确定的东西，比如分形学的无序性和不规律性。
不服输的人：运气游戏和概率的诞生
目前，复杂的概率论的应用领域十分广泛，因为在我们的世界里，与确定因素相比，不确定因素具有更为重要的意义。然而，概率论的起源与人们在运气游戏中的好胜心是分不开的。事实上，概率论的数学模型最初是基于概率的定义发展而来的。17世纪中期，该模型在法国初步成型，特别体现在1654年，布莱瑟.帕斯卡和皮埃尔·费马在通信中就安托万.贡博（Antoine Gombauld，1607—1685）提出的问题所进行的讨论，后者我们也称之为德米尔（Chevalier de Méré）。德米尔是一个狂热的赌徒， 他曾向帕斯卡求助，希望其对某些骰子游戏的结果做出解释。
德米尔一生中很大一部分时间都靠直觉方法来操作和分析运气游戏。碰巧的是，经证实，这些方法往往都是正确的。看起来， 他通过某些看似平衡的游戏（也就是输赢机会参半的游戏）赢了很多钱。在当时的人们看来，很多游戏都是平衡的，其中一个就是，掷骰子4 次，至少掷得一次6 点，但德米尔却知道，这个游戏是有胜算的。不过，他提出了一种新玩法，即掷一对骰子24 次， 至少有一次要掷得一对6 点。他以为这种玩法跟之前的游戏一样， 也会赢钱。但他很快就发现，事实并非如此，原有的策略甚至适得其反。于是，在1654 年左右，他找到了帕斯卡，询问自己的推断哪里错了，为什么新玩法会让他输钱，跟之前的游戏完全不同。
驾驭机会：概率的数学研究
在介绍概率的概念和基本性质之前，我们先来分析一下德米尔的两种赌博游戏。第一种的具体情况是这样的：掷4 次骰子，至少掷得一枚6 点，这样的概率有多少？我们可以运用概率论的基本原理解决这个问题，即某个事件或其相反事件发生的概率为1。因此，我们必须首先算一下，掷4 次骰子，没有掷得6 点的概率是多少。显然，每掷一次骰子，该概率为p（没有掷得6 点的概率） = 5/6。而掷4 次骰子，每一次都是完全独立的， 这就意味着我们需要将每一次的概率相乘，得出总概率为：
（5/6）.（5/6）.（5/6）.（5/6）=（5/6）4 = 625 / 1 296 = 0.482 < 1/2。
这样，至少掷得一枚6 点的概率就是：
1-（625 / 1 296）=671/ 1 296 = 0.518 > 1/2。
由此我们可以看出，正如德米尔原本猜测的一样，掷4 次骰子，掷得一枚6 点，在这上面下注是有胜算的。
我们可以用类似的方法来分析和解决第二种赌法：掷两枚骰子24 次，掷得一对6 点的概率是多少？跟之前一样，我们必须先算一下在这24 次中，无法掷得一对6 点的概率。两枚骰子每掷一次，该概率为p（没有掷得一对6 点的概率）=35/36。因此，掷24 次，该概率为：
p（没有掷得一对6 点的概率）=（35/36）24 = 0.5086。
从这个结果可以明显看出，至少掷得一对6 点的概率为：
1-0.5086 = 0.4914 < 1/2。
以上我们分析的赌博游戏是历史上最早解决的概率问题之一。在这个过程中，我们已经运用到了一系列定义和性质，二者构成了概率论的基础。
这些性质，很多都在之前提到的帕斯卡和费马的通信中进行过讨论，后来又在拉普拉斯的概率论专著中建立起来。不过它们都是以逆向的形式呈现出来的，下面我们通过几个相关的掷骰子游戏加以说明：
事件 概率
1 任意事件E总是具备以下条件：
0≦p（E）≦1 每掷一次骰子，掷得1~6某一点数（比如5点）的概率都是1/6，因为可能事件有6种，其中只有一种是符合预期的（ 即掷得5点）。
2 如果E一定发生，则p（E）=1，而如果E不可能发生，则p（E）= 0 每掷一次骰子，掷得7点的概率为0（该事件不可能发生），而掷得点数为大于0且小于7的整数的概率则为1（该事件一定发生）。
3 p（非E）=1-p（E） 每掷一次骰子，p（掷得6点）=1-p（ 没有掷得6点）。那么，每掷4次骰子，p（至少掷得一个6点）=1-p（没有掷得6点）。
4 如果A和B代表不同的事件，p（A或 B）=p（A）+p（B） 每掷一次骰子，p（掷得偶数点或5 点）= p（掷得偶数点）+p（掷得5 点）=1/2+1/6=2/3。
5 如果A和B代表独立的事件，p（A和 B）=
p（A）·p（B） 如果一次掷出两枚骰子，那么没有掷得6点的概率为：p（两枚骰子都不是6点）=p（不是6点）·p（不是6 点）=5/6·5/6=25/36。
帕斯卡和费马在通信中还谈论到另外一个有关赌博游戏的问题。具体地说，就是如果游戏在某一时刻突然中断，玩家应该如何分配赌金。这个问题就是我们常说的“点数分配问题”。最早涉及该问题的是卡尔达诺，他提出的解决方案是基于双方的现有点数，而不是双方在游戏结束后获胜的概率。
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