《泛函分析》是泛函分析入门教材,以Hilbert空间为主线进行讲述。
《泛函分析》主要分成两个部分,第一部分有三章,其中,第一章讲Hilbert空间几何结构、正交投影定理、Riesz表示定理等,第二章讲Hilbert空间上有界线性算子与谱的基础知识,第三章专门深入讲紧算子与两择一定理;第二部分也是三章。包括无界算子(闭算子、对称算子、对称算子的自伴延拓等),以及自伴算子谱分解和酉算子谱分解。第一部分是简单的基本内容,可以给数学系本科生或理工科研究生讲。三个学分差不多可以讲完;第二部分是Hilbert空间中深入的内容,可以给数学系研究生讲,也可根据其他有关课程需要选择内容进行教学。
在《泛函分析》编写过程中。编者尽可能做到通俗化,注意讲述无穷维空间问题和概念的联系与区别,讲述经典分析方法在这里的作用,以便于读者自学。
《泛函分析》可以作为数学系本科生和研究生教材。也可作为其他理工科研究生教材或参考书。
泛函分析是20世纪数学发展的一个重大进展,它的产生与发展来自数学和物理两方面的推动,如位势理论、积分方程、函数论、发散级数等。
19世纪末发展起来的积分方程理论引起了Hilbert的强烈兴趣。1906年前后,Hilbert建立了积分方程所需要的无穷维空间结构(包括内积、正交基等)。他利用Fourier级数思想,把函数表示为序列,把积分方程看成无穷多方程的线性方程组,从而把线性代数有关理论推广过来,为了纪念Hilbert的贡献,后来人们把完备的内积空间称为Hilbert空间,而Hilbert关于积分方程的工作也被不断推广。
Dieudonne指出:“如果要用几个关键词来概述泛函分析复杂的发展历史,我认为应该是谱理论和对偶性这两个概念,两者都源于求解未知数函数的线性方程(或线性方程组)所遇到的具体问题。”谱的概念的发展源于线性问题的适定性,因为无穷维空间中的线性问题的适定性与有限维有很大的不同,所以产生了谱的分类问题,对此,本书有较详细的论述,而对偶性,其实就是“坐标系”思想,笛卡儿坐标系的引入是数学史上一个重大事件,它使得几何问题能够代数化。受此影响,人们将线性方程组放在线性空间框架下进行讨论,线性问题得到很好的解决,这种方案就是将代数问题几何化。Hilbert进行的有关工作就是将这一思想方法朝着无穷维推广。线性问题要放到一个无穷维空间去讨论,就会涉及“坐标化”的问题,其源头是Fourier级数思想,三角函数系起的作用就相当于无穷维空间的笛卡儿坐标系,它发展成为Hilbert空间的规范正交基的概念。这种思想的进一步推广就得到弱拓扑概念。
1932年,波兰数学家Banach发表第一本泛函分析专著,标志着这一学科本身成为了一门成熟的数学分支,此后它在许多学科,如微分方程、概率论、量子理论、控制论信号处理等得到广泛应用。同时,诸多学科的发展也推动着泛函分析本身的发展,近百年来,泛函分析已经成为一个庞大的数学分支,并成为现代数学基础。对于许多数学工作者和以数学作为工具的工程技术人员而言,泛函分析是他们必须掌握的知识。