作为Sobolev嵌入定理的临界情形，Trudinger-Moser嵌入在带有指数增长型非线性项的偏微分方程的解的存在性研究中起着重要的作用。
《Trudinger-Moser嵌入的相关研究》介绍了Trudinger-Moser嵌入的一些新研究进展，主要包含以下内容：加权的Trudinger-Moser嵌入问题，考虑常数带有余项的奇异的Trudinger-Moser不等式；带Lp范数的Trudinger-Moser嵌入，考虑常数带Lp范数的奇异的Trudinger-Moser不等式；利用Blow-up分析的方法研究一类带Lp范数的Trudinger-Moser嵌入的极值函数的存在性问题等。
《Trudinger-Moser嵌入的相关研究》可供从事泛函分析和偏微分方程及相关领域研究工作的科研人员参考，也可作为高等院校相关专业研究生和高年级本科生学习的参考资料。
Sobolev（索伯列夫）空间是由函数组成的赋范向量空间，主要用来研究偏微分方程理论。在研究偏微分方程中，人们往往需要运用泛函分析的相关知识，因此需要找到一个合适的空间。在Sobolev空间中，偏微分方程的解得到了某种意义下的“弱化”，这使得人们可以在更大的空间中求偏微分方程的解及解的正则性等性质。对于一个函数空间，人们自然会问一个问题，也就是这个函数空间与其他函数空间的关系。Sobolev嵌入定理恰好能够描述Sobolev空间与其他函数空间的嵌入关系。
作为Sobolev嵌入定理的临界情形，Trudinger-Moser嵌入在带有指数增长型非线性项的偏微分方程的解的存在性研究中起着重要的作用。该嵌入问题的研究主要包括两个方面：①最佳常数能否达到；②极值函数是否存在。目前上述两个方面已经有了很多重要的工作。例如，AdimurthiDruet研究了有界光滑区域上最佳常数带有余项的Trudinger-Moser嵌入，AdimurthiSandeep考虑了有界光滑区域上奇异的Trudinger-Moser嵌入，Ruf研究了二维欧氏空间中任意区域上的Trudinger-Moser嵌入，Fontana考虑了黎曼流形上的Trudinger-Moser嵌入，Carleson Chang证明了中单位球上极值函数是存在的。在国内，杨云雁教授等学者也在这方面做出了许多杰出的工作。受国内外同行的启发与鼓舞，我们在这方面也做了一些研究工作。
本书介绍近年来作者及其合作者关于Trudinger-Moser嵌入的一些研究成果，共分四章。第一章是引言，介绍了国内外在Trudinger-Moser嵌入问题上的一些研究进展；第二章给出加权的Trudinger-Moser嵌入的结果及其证明；第三章给出带Lp范数的Trudinger-Moser嵌入的结果及其证明；第四章给出了一类Trudinger-Moser嵌入的极值函数存在性问题的结果，利用Blow-up分析的方法研究了一类带Lp范数的Trudinger-Moser不等式的极值函数的存在性问题。
本书在编写过程中，得到中国人民大学杨云雁教授的指导和帮助，本书的出版得到北京联合大学基础课教学部于深主任的大力支持，在此表示深切的谢意！
由于作者水平有限，书中难免存在疏漏和不足之处，恳请各位专家和读者批评指正。
第一章 引言
1．1 研究背景
1．2 本书的组织结构
第二章 加权的Trudinger-Moser嵌入
2．1 加权的Trudinger-Moser嵌入的结果
2．2 关于特征值的几个引理
2．3 加权的Trudinger-Moser嵌入结果的证明
2．4 扩展与问题
第三章 带Lp范数的Trudinger-Moser嵌入
3．1 带Lp范数的Trudinger-Moser嵌入的结果
3．2 特征值的性质
3．3 带Lp范数的Trudinger-Moser嵌入的结果的证明
第四章 Trudinger-Moser嵌入和极值函数
4．1 关于极值函数存在性的结果
4．2 次临界情形
4．3 Blow-up分析
4．4 极值函数的存在性
4．5 极值函数存在性结果证明的完成
符号表
公式表
参考文献
作者简介
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