本书是工科类微积分课程教材,主要特点是包含了二维码技术和相关数学历史文化知识介绍。本书共分6章,主要内容包括函数的极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用。教材注意与中学数学的衔接,增加了中学数学教材中包含且对微积分学习很必要的知识点,如常用符号、特殊数列、三角关系公式等;也增加了中学数学教材中不包含而学习微积分必备的知识点,如和差化积与积化和差公式、反三角函数等。另外,教材注重整体性,对知识的来龙去脉有恰当的介绍,便于学生把握;教材注重可读性,使用由浅入深的介绍方式,便于学生理解;教材注重有效性,呈现逻辑严密的定理证明与例题解答,提供层次分明内容丰富的习题,满足不同层次学生的需求。
科学的飞速发展和计算机的快速普及. 使得数学在其他科学领域中的应用空前广泛.社会各个领域对数学的需求也越来越多. 对各专业人才的数学素养要求也越来越高. 本书是以教育部高等工科数学课程教学指导委员会制定的.高等数学课程教学基本要求. 为标准. 以提高学生的专业素质为目的. 在充分吸收编者多年来的教学实践和教学改革成果的基础上编写而成的.“高等数学” 是高校的基础课程之一. 这门课程的思想和方法是人类文明发展史上理性智慧的结晶. 它不仅提供了解决实际问题的有力的数学工具. 同时还给学生提供了一种思维的训练方法. 帮助学生提高作为应用型、创造型、复合型人才所必需的文化素质和修养. 本书在编写过程中. 注重强调数学的思想方法. 重点培养学生的数学思维能力. 并力求提高学生的数学素养. 从而体现出数学既是一种工具. 同时也是一种文化的思想. 在内容选取上删去了传统本科教材中难而繁的内容. 保留了高等数学传统的知识内容. 渗透了不少现代数学观点. 增加了一批各学科领域中的应用型例题以及以往传统教材中没有的数学实验. 以利于学生更好地利用计算机来应用数学. 期望通过对本书的学习. 学生不仅达到会数学、更达到会用数学的目的.本书对数学的基本概念和原理的讲述通俗易懂. 同时又兼顾了数学的科学性与严谨性. 对定义和定理等的叙述准确、清晰. 并在节后配有相应的习题. 每章末配有综合练习. 本书适用于普通高等院校本、专科高等数学课程的教学. 也可作为科技工作者的参考用书.参加本书编写的人员有武昌理工学院的杜洪艳、高萍、韩世勤、胡满姑、朱小红、张馨元、崔淑琪等. 全书的框架结构统稿及定稿由主编杜洪艳负责.由于编者水平有限. 书中难免有不妥之处. 恳请专家及读者批评指正.编 者
前 言
第1 章 函数与极限 1
1. 1 函数 1
1. 1. 1 预备知识 1
1. 1. 2 函数的概念 2
1. 1. 3 函数的基本性质 4
1. 1. 4 反函数 6
1. 1. 5 初等函数 7
1. 1. 6 建立函数关系式举例 8
习题1. 1 9
1. 2 极限的概念 11
1. 2. 1 数列的极限 11
1. 2. 2 函数的极限 13
习题1. 2 16
1. 3 极限运算法则与两个重要
极限 17
1. 3. 1 极限的四则运算 17
1. 3. 2 两个重要极限 18
习题1. 3 21
1. 4 无穷小与无穷大 21
1. 4. 1 无穷小 21
1. 4. 2 无穷大 23
1. 4. 3 无穷小的比较 25
习题1. 4 27
1. 5 函数的连续性 27
1. 5. 1 函数连续的概念 28
1. 5. 2 函数的间断点 31
1. 5. 3 初等函数的连续性 33
1. 5. 4 闭区间上连续函数的性质 35
习题1. 5 36
.1. 6 极限问题的MATLAB 实现 37
.习题1. 6 40
综合练习1 41
第2 章 导数与微分 43
2. 1 导数的概念 43
2. 1. 1 引入导数概念的实例 43
2. 1. 2 导数的定义 44
2. 1. 3 导数的几何意义 45
2. 1. 4 单侧导数 46
2. 1. 5 可导与连续的关系 47
习题2. 1 47
2. 2 求导法则 48
2. 2. 1 函数的和、差、积、商的
导数 48
2. 2. 2 反函数的导数 50
2. 2. 3 复合函数的导数 51
2. 2. 4 基本初等函数的导数公式 52
习题2. 2 53
2. 3 高阶导数 53
习题2. 3 56
2. 4 隐函数及由参数方程所确定的
函数求导 57
2. 4. 1 隐函数的求导 57
2. 4. 2 对数求导法 59
2. 4. 3 由参数方程所确定的函数
的导数 60
习题2. 4 61
2. 5 函数的微分 62
2. 5. 1 微分的定义 62
2. 5. 2 可微的条件 63
2. 5. 3 微分公式及运算法则 63
2. 5. 4 微分的应用 65
习题2. 5 67
.2. 6 导数问题的MATLAB 实现 67
.习题2. 6 70
综合练习2 70
第3 章 微分中值定理与导数的
应用 73
3. 1 微分中值定理 73
3. 1. 1 罗尔(Rolle) 定理 73
目 录
3. 1. 2 拉格朗日(Lagrange) 中值
定理 75
3. 1. 3 柯西(Cauchy) 中值定理 77
习题3. 1 79
3. 2 洛必达法则 80
3. 2. 1 00
型未定式 80
3. 2. 2 ∞∞
型未定式 81
3. 2. 3 其他未定式 83
习题3. 2 84
3. 3 泰勒公式 85
习题3. 3 89
3. 4 函数的单调性与极值 89
3. 4. 1 函数单调性的判别法 89
3. 4. 2 函数的极值 91
3. 4. 3 函数的最值问题 95
习题3. 4 97
3. 5 曲线的凹凸性及函数作图 98
3. 5. 1 曲线的凹凸性及拐点 98
3. 5. 2 函数作图 101
习题3. 5 105
3. 6 相关变化率、边际分析与弹性
分析介绍 106
3. 6. 1 相关变化率 106
3. 6. 2 边际分析 107
3. 6. 3 弹性分析 109
3. 6. 4 增长率 110
习题3. 6 111
.3. 7 曲率 111
3. 7. 1 弧微分 111
3. 7. 2 曲率及其计算公式 113
3. 7. 3 曲率圆与曲率半径 115
.习题3. 7 116
.3. 8 方程的近似解及其MATLAB
实现 116
3. 8. 1 二分法 117
3. 8. 2 切线法 117
3. 8. 3 求解非线性方程的MATLAB
符号法 119
3. 8. 4 代数方程的数值解求根指令 120
3. 8. 5 求函数零点指令 121
.习题3. 8 123
综合练习3 123
第4 章 不定积分 126
4. 1 原函数与不定积分 126
4. 1. 1 原函数的概念与原函数存
在定理 126
4. 1. 2 不定积分及其性质 127
4. 1. 3 基本积分公式 130
习题4. 1 132
4. 2 换元积分法 133
4. 2. 1 第一类换元积分法 133
4. 2. 2 第二类换元积分法 138
习题4. 2 142
4. 3 分部积分法 143
习题4. 3 148
4. 4 其他类型函数的积分 148
4. 4. 1 有理函数的积分 148
4. 4. 2 三角有理式R(cosx.sinx)
的积分 150
4. 4. 3 简单无理函数的积分 151
习题4. 4 152
.4. 5 不定积分问题的MATLAB
实现 153
.习题4. 5 155
综合练习4 155
第5 章 定积分 158
5. 1 定积分的概念 158
5. 1. 1 两个实例 158
5. 1. 2 定积分的定义 160
习题5. 1 163
5. 2 定积分的性质 163
习题5. 2 166
5. 3 微积分基本公式 166
5. 3. 1 积分上限函数及其导数 167
5. 3. 2 牛顿 ̄莱布尼茨公式 168
习题5. 3 171
5. 4 定积分的换元法 172
习题5. 4 176
5. 5 定积分的分部积分法 177
习题5. 5 179
5
高等数学 上册 第2 版
5. 6 反常积分 180
5. 6. 1 积分区间为无穷区间 180
5. 6. 2 无界函数的反常积分 182
习题5. 6 184
.5. 7 定积分的MATLAB 实现 184
5. 7. 1 计算定积分的MATLAB 符号
法 184
5. 7. 2 定积分的数值积分函数
举例 187
.习题5. 7 189
综合练习5 190
第6 章 定积分的应用 192
6. 1 建立积分表达式的元素法 192
6. 2 定积分在几何中的应用 194
6. 2. 1 平面图形的面积 194
6. 2. 2 体积 197
6. 2. 3 平面曲线的弧长 200
习题6. 2 203
6. 3 定积分在物理学上的应用 203
习题6. 3 207
.6. 4 定积分在经济学中的应用 208
.习题6. 4 212
综合练习6 213
第7 章 微分方程 214
7. 1 微分方程的基本概念 214
习题7. 1 216
7. 2 一阶微分方程 217
7. 2. 1 可分离变量的微分方程 217
7. 2. 2 齐次方程 218
7. 2. 3 可化为齐次方程的微分方程 220
7. 2. 4 一阶线性微分方程 222
7. 2. 5 伯努利方程 224
习题7. 2 225
7. 3 可降阶的高阶微分方程 225
7. 3. 1 y(n) = f (x) 型微分方程 225
7. 3. 2 y″ =f (x. y′) 型微分方程 226
7. 3. 3 y″ = f (y. y′) 型微分方程 227
习题7. 3 228
7. 4 高阶线性微分方程 228
7. 4. 1 高阶线性微分方程解的结构 228
7. 4. 2 n阶常系数齐次线性微分方程 229
7. 4. 3 高阶常系数非齐次线性微分
方程 231
习题7. 4 237
.7. 5 MATLAB 解微分方程 237
7. 5. 1 常微分方程的MATLAB 符号
表示法 237
7. 5. 2 求解常微分方程的符号法———
函数dsolve 238
7. 5. 3 常微分方程初值问题数值解
的MATLAB 实现 240
.习题7. 5 243
综合练习7 243
附录 245
附录A 希腊字母 245
附录B 常用数学公式 245
附录C 基本初等函数 249
附录D 几种常用的曲线方程及
其图形 252
附录E 积分表 254
部分习题参考答案 263
参考文献 279