全书共分八讲。讲介绍极限的思想、各种求解方法和证明极限存在的各种技巧；第二讲介绍函数一致连续性的思想和证明方法及技巧；第三讲介绍与微分中值定理（包括泰勒公式）有关的思想和解决问题的方法；第四讲介绍定积分的重要计算技巧和证明函数可积性的方法；第五讲介绍各类级数收敛性的判别方法和技巧，并对函数项级数和函数性质进行了详尽的讨论；第六讲介绍多元函数的各种性质及应用；第七讲介绍各类积分的计算方法和技巧，特别是第二类曲面积分；第八讲介绍证明不等式的常用方法和技巧。
“数学分析”是数学系最重要的基础课之一,也是数学系各专业考研的必考科目. 由于它的内容多、技巧强、方法灵活,很多考生在备考过程中遇到诸多疑难和困惑,甚至产生了畏难、厌学情绪. 针对这种情况,我想以一个朋友的身份和大家聊聊,也许对你会有帮助. 二十多年前,我作为一名考生,也遇到了大家今天所遇到的问题(有过之而无不及!),也曾有过放弃的念头,但在老师和同学们的鼓励下,我咬咬牙挺过来了! 因此,我首先想和大家说的是:要相信自己,不要轻言放弃,顶一顶过了这一关,前面也许就一马平川了!我从事数学分析的教学工作已有二十余年,积累了一些教学经验和教学心得,能够体会到同学们在学习数学分析中的酸甜苦辣! 因此,有了想写一本帮助同学们备考用书的冲动.在写书之初,我曾多次和考生座谈并发放问卷,倾听他们的想法,了解他们的困惑. 许多同学真诚地提出了自己的问题,这让我非常感动! 于是,我暗下决心:要尽我最大能力写好这本书,以求能给大家点滴帮助. 同学们的问题归纳起来有如下几个方面:1. 数学分析概念多、定理多,各章节的内容串联不起来. 比如,求极限有许多方法和技巧,拿到题目不知道如何下手. 2.微分中值定理证明题中辅助函数的构造. 3. 定积分的可积性理论、求不出原函数的定积分的计算等问题. 4. 广义积分尤其是含参变量广义积分,证明其收敛性或一致收敛性是难点. 5. 对于函数项级数,当要讨论和函数的分析性质(连续性、可积性和可导性),而又不满足定理的条件时,常常感到束手无策. 6. 第二型曲面积分计算时的补面、以及区域内部有奇性等如何处理. 当然,同学们还提出了许多其他问题,比如:一元函数的一致连续和非一致连续的证明;二重极限的计算;常考的不等式题型及其证明等. 从同学们所提的问题看,的确切中了数学分析的重点和难点,当然也是目前各类院校考研的重点.同学们的问题就是我写这本书的指导思想,因此我在编写本书的过程中始终本着如下原则:不受知识体系的约束,坚持体系由解题方法所决定;不去罗列各种教材中的基本内容,仅对一些重要的、容易混淆的概念和定理进行深入、透彻的讲解. 并恰如其分地阐述它们之间的区别与联系,以及使用时应该注意的事项;不追求大而全、艰而难,注重解题思路的分析和解题技巧的提炼.在整个写作的过程中,同学们的问题始终在我脑海萦绕. 我常常问自己:我回答了学生的问题吗? 能给学生帮助吗? 唯恐自己的闪失或能力所限辜负了同学们的期望! 下面我想通过几个例子来说明,我是如何针对同学们的问题来安排书中内容的..求极限的方法与技巧在讲中我归纳总结了十余种求极限的方法,并通过典型例子阐明了它们的应用. 在此,我通过一个例子来说明如何去思考问题?设数列{xn } 由递推关系xn+1 = f(xn ) 所给出,求lim n→拿到这个题目,大家会首先想单调有界定理. 如果单调有界定理失效,可能有的同学就“望题兴叹”了! 可是大家不要忘记:数列收敛的本质是:充分靠后的任意两项之间的距离可以任意小. 这样我们就可以尝试使用压缩性条件或柯西收敛原理;如果还不行,可以考虑使用上、下极限法.另外,如果数列{xn } 由线性递推关系xn+1 = pxn + qxn-1,n = 2,3,… 所给出,其中p,q 为常数,x1,x2 为已知. 对这种由线性递推关系所定义的数列,我们可以将其视为差分方程,通过求其特征方程的根(即特征根),写出xn 的通项公式,从而可求出xn 的极限..与微分中值定理或泰勒公式有关的证明题中辅助函数的构造在第三讲中,我通过对一些典型例题(这其中也包括与积分有关的题目)的分析、讲评,向大家介绍了:如何从题目的结论出发构造辅助函数. 由于构造辅助函数有一定的灵活性,通过区区几个例题大家可能仍然无法掌握其中的技巧和奥秘! 为了克服这一困难,我又介绍了在多年教学实践中总结出来的“辅助多项式法”. 这种方法把充满技巧的辅助函数构造变成了机械的例行公事了..定积分的计算谈起定积分的计算问题,许多同学可能对此不以为然,会简单地认为:只要求出原函数问题就解决了! 但是对那些原函数求不出来或不易求出来的怎么办? 通常的想法是,作自变量的变换,这种变换充满了智慧和技巧. 在第四讲中,我给出了简单易行的“定积分计算技巧”,解决了一大类定积分计算问题.如此等等,不再一一赘述.关于本书我想再啰嗦几句. 书中的例题和类题大都来源于考研真题和近年来的全国大学生数学竞赛试题. 有些题目从年份上看,是早了一些,但是好的题目就像美妙的音乐,永远是不会过时的! 在题目的取舍上既要照顾到介绍思想、方法和技巧的需要,又要保证有一定的难度;在讲解上由浅入深,娓娓道来,尽量做到“平易近人”. 多数例题的后面都配有类题,并给出了详略不同的提示,这有利于同学们掌握和巩固例题中所学的方法和技巧. 许多理论上的讲解和题后的注记,都体现了笔者二十多年的教学经验和教学心得,凝聚了笔者的心血! 同学们在阅读过程中要认真琢磨,细细品味,切不可蜻蜓点水一带而过.如何进行考研总复习呢? 许多同学向我提出这个问题. 我认为,首先把课本上的基本内容搞熟、搞透、掌握了,然后根据自己的情况选择一本适合复习的参考书,对所学的知识进行全面、系统的串联、归纳、总结、巩固和提高. 最后找你所报考院校近几年的考题试做一下,
前 言
第一讲 极限 1
一、用极限的定义验证极限 1
二、用单调有界定理证明极限的存在性 3
三、用迫敛性定理求极限 8
四、用柯西收敛准则证明极限的存在性 10
五、用施图兹定理求极限 12
六、用泰勒展开求极限 14
七、用中值定理求极限 17
八、两个重要极限·洛必达法则 18
九、用定积分的定义求极限 23
十、其他 25
第二讲 一元函数的连续性 36
一、函数的连续性及其应用 36
二、一致连续性 47
第三讲 一元函数的微分学 57
一、导数与微分 57
二、高阶导数 62
三、微分中值定理及其应用 67
四、泰勒公式 82
五、函数零点个数的讨论 93
第四讲 一元函数的积分学 96
一、不定积分的计算 96
二、定积分的计算 106
三、函数的可积性理论 112
四、定积分的性质及其应用 118
五、广义积分 127
第五讲 级数 142
一、数项级数 142
二、函数项级数 159
三、幂级数 179
四、傅里叶级数 193
第六讲 多元函数的微分学 205
一、多元函数的极限与连续 205
二、多元函数的偏导数与全微分 214
三、隐函数(组)存在定理及隐函数求偏导 227
四、偏导数的应用 233
第七讲 多元函数的积分学 255
一、含参变量积分 255
二、重积分 279
三、曲线积分 301
四、曲面积分 314
第八讲 不等式 331
一、几个著名的不等式 331
二、利用凸函数的性质证明不等式 337
三、利用函数的单调性与极值证明不等式 343
四、积分不等式 351
参考文献 364
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