这本《流形上的分析》由谢孔彬、谢云鹏译，是根据J.R.曼克勒斯先生所著的Analysis on Manifolds一书译出。原书禀承了作者一贯的写作风格，论述精辟，深入浅出。主要内容包括：第一章复习并扩充了全书所需要的代数与拓扑知识；第二至四章系统论述了n维欧氏空间中的多元微积分，这是对普通数学分析的推广与提高，也是为流形上的分析做准备；第五至八章系统论述流形上的分析，其中包括一般Stokes定理和de Rham上同调等内容。此外，为便于初学者理解与接受，本书采用将流形嵌入高维欧氏空间中的观点讲述，故而又在第九章给出了抽象流形的概念并简要介绍了一般可微流形和Riemann流形。 《流形上的分析》可作为数学专业的研究生和高年级本科生的教材或参考书，也可供物理及某些工科专业的研究生、青年教师和有关工程技术人员参考。
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本书根据J.R.曼克勒斯先生所著的Analysis on Manifolds一书译出。原书禀承了作者一贯的写作风格，论述精辟，深入浅出。主要内容包括：第一章复习并扩充了全书所需要的代数与拓扑知识；第二至四章系统论述了n维欧氏空间中的多元微积分，这是对普通数学分析的推广与提高，也是为流形上的分析做准备；第五至八章系统论述流形上的分析，其中包括一般Stokes定理和de Rham上同调等内容。此外，为便于初学者理解与接受，本书采用将流形嵌入高维欧氏空间中的观点讲述，故而又在第九章 给出了抽象流形的概念并简要介绍了一般可微流形和Riemann流形。
本书可作为数学专业的研究生和高年级本科生的教材或参考书，也可供物理及某些工科专业的研究生、青年教师和有关工程技术人员参考。
目录
译者的话
前言
第一章 Rn的代数和拓扑 1
1. 线性代数回顾 1
2. 矩阵的逆与行列式 9
3. Rn的拓扑回顾 21
4. Rn的紧子空间和连通子空间 27
第二章 微分 34
5. 导数 34
6. 连续可微函数 41
7. 链规则 46
8. 反函数定理 53
9. 隐函数定理 60
第三章 积分 68
10. 矩形上的积分 68
11. 积分的存在性 76
12. 积分的计算 82
13. 有界集上的积分 87
14. 可求积的集合 94
15. 非正常积分 102
第四章 变量替换 113
16. 单位分解 113
17. 变量替换定理 120
18. Rn中的微分同胚 126
19. 变量替换定理的证明 134
20. 变量替换的应用 141
第五章 流形 148
21. k维平行六面体的体积 148
22. 参数化流形的体积 155
23. Rn中的流形 162
24. 流形的边界 167
25. 流形上标量函数的积分 173
第六章 微分形式 181
26. 多重线性代数 181
27. 交错张量 187
28. 模积 196
29. 切向量和微分形式 202
30. 微分算子 209
31. 对向量场和标量场的应用 217
32. 可微映射的作用 221
第七章 Stokes定理 227
33. 参数流形上的形式的积分 227
34. 可定向流形 231
35. 定向流形上形式的积分 242
36. 形式和积分的几何解释 245
37. 广义Stokes定理 248
38. 对向量分析的应用 255
第八章 闭形式和恰当形式 267
39. Poincare引理 267
40. 有孔Euclid空间的de Rham群 275
第九章 尾声——Rn之外的世界 285
41. 可微流形和Riemann流形 296
参考文献 296
索引 297
第一章Rn 的代数和拓扑
x1. 线性代数回顾
一、向量空间
假设已经给定了一个称作向量的研究对象的集合V , 并且给定了一个称作向
量加法的运算, 使得向量x 和y 的和是一个向量, 记为x + y. 还假设给定了一个
称为数乘的运算使得标量(例如实数)c 与向量x 的积是一个向量, 记为cx.
集合V 连同这两种运算, 若对所有向量x; y; z 与标量c; d, 满足下列性质, 则
称之为一个向量空间(或线性空间)：
(1) x + y = y + x.
(2) x + (y + z) = (x + y) + z.
(3) 有唯一的一个向量0 使得x + 0 = x 对所有向量x 成立.
(4) x + (?1)x = 0.
(5) 1x = x.
(6) c(dx) = (cd)x.
(7) (c + d)x = cx + dx.
(8) c(x + y) = cx + cy.
向量空间的一个例子是所有实数n 元组的集合Rn 连同按分量的加法和数乘,
即如果x = (x1; … ; xn) 且y = (y1; … ; yn), 那么
x + y = (x1 + y1; … ; xn + yn);
cx = (cx1; … ; cxn):
向量空间的性质容易验证.
设V 是一个向量空间, W 是V 的一个子集, 若对W 的每一对元素x, y 和每
一个称量c, 向量x+y 和cx 的属于W, 则称W 是V 的一个线性子空间(简称子
空间). 在这种情况下, 若用W 从V 继承的运算, 则W 自身也满足性质(1)|(8),
因而W 本身也是一个向量空间.
在本书的前半部分, Rn 及其子空间是我们唯一关心的向量空间. 在后面的各
章中我们将论述更一般的向量空间.
令V 是一个向量空间, 对于V 中的一组向量a1; … ; am, 如果V 中的每个向
量x 都至少对应一组标量c1; … ; cm, 使得
x = c1a1 + … + cmam;
则称V 由向量组a1; … ; am 张成. 在这种情况下, 我们说x 可以写成向量组
a1; … ; am 的线性组合.
如果V 中的每个向量x 都至多对应一组标量c1; … ; cm, 使得
x = c1a1 + … + cmam;
则称向量组a1; … ; am 是线性无关的(或称独立的). 等价地, 若零向量0 只对应
一组标量d1; … ; dm, 使得
0 = d1a1 + … + dmam;
即d1 = d2 = … = dm = 0, 则fa1; … ; amg 是线性无关的.
如果向量组a1; … ; am 既能张成V 又是线性无关的, 则称它是V 的一个基.
对此我们有下列结果：
定理1.1 设V 的基由m 个向量组成, 那么张成V 的任何向量组至少有m
个向量, 而V 的任何线性无关的向量组至多有m 个向量. 特别, V 的任何基恰有
m 个向量. ¤
如果V 的基恰有m 个向量组成, 则称V 的维数是m. 我们约定仅由零向量
组成的向量空间的维数是零.
容易看出Rn 的维数是n. 下列向量组称为Rn 的标准基：
e1 = (1; 0; 0; … ; 0);
e2 = (0; 1; 0; … ; 0);
… …
en = (0; 0; 0; … ; 1):
向量空间Rn 还有许多其他基, 但是Rn 的任何基必定恰好由n 个向量组成.
可以把张成、线性无关以及基的定义扩展到允许对无穷向量集来定义. 那么向
量空间可能具有无穷基(参看习题). 然而我们并不涉及这种情况.
因为Rn 具有有限的基, 所以它的每一个子空间也有有限基. 这个事实是下列
定理的推论.
定理1.2 令V 是一个m 维向量空间. 如果W 是V 的一个(不同于V 的)
线性子空间, 那么W 的维数小于m, 而且W 的任何一个基a1; … ; ak 均能扩张
成V 的一个基a1; … ; ak; ak+1; … ; am. ¤
二、内积
如果V 是一个向量空间, 那么V 上的内积是这样一个函数, 它对V 的每一对
向量x; y 指派一个实数, 记为hx; yi, 并且使得下列性质对V 中的所有向量x; y; z
和所有标量c 成立：
(1) hx; yi = hy; xi.
(2) hx + y; zi = hx; zi + hy; zi.
(3) hcx; yi = chx; yi = hx; cyi.
(4) 若x 6= 0; 则hx; xi > 0.
一个向量空间V 连同V 上的一个内积称为一个内积空间.
一个给定的向量空间可以有许多不同的内积. Rn 上的一个特别有用的内积定
义如下：若x = (x1; … ; xn); y = (y1; … ; yn), 则定义
hx; yi = x1y1 + … + xnyn:
容易验证它具有内积的性质. 这将是Rn 中通常使用的内积, 有时称之为点乘积,
将它记为hx; yi 而不记作x ￠ y 是为了避免与不久将要定义的矩阵乘积相混淆.
如果V 是一个内积空间, 那么将V 中向量x 的长度(或模) 定义为
kxk = hx; xi1=2:
模函数具有下列性质：
(1) 若x 6= 0, 则kxk > 0.
(2) kcxk = jcjkxk.
(3) kx + yk 6 kxk + kyk.
其中第三个性质是唯一需要付出一些努力才能证明的, 一般称之为三角形不等式
(参看习题). 人们发现, 这个不等式的一种等价形式常常是有用的, 这就是不等式
(30)kx ? yk > kxk ? kyk.
从V 到实数集R 的任何满足上列性质(1)|(3) 的函数都称作V 上的范数.
从内积导出的长度函数就是范数的一个例子. 但也确实有些范数不是从内积导出
的. 例如在Rn 上不仅有熟知的从点乘积导出的范数, 称为Euclid 范数, 而且还有
上确界范数, 其定义为
jxj = maxfjx1j; … ; jxnjg:
确界范数常常比Euclid 范数用起来更方便. 我们指出Rn 上的这两种范数满足下
列不等式
jxj 6 kxk 6 pnjxj:
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