本书是华北电力大学数理学院数学分析教研组集体工作的总结，结合了工科数理学院教师多年教学实践经验、教育背景和研究经历的优势编写而成。特别吸收了20世纪几位重要数学家的观点，展现出数学历史的画卷，又融合了自己的见解，具有工科院校数学专业基础课独有的特点和亮点。本书注重数学史等基本素养的引导，使学习者能明白数学的概念虽然是人为的，但也是自然的。在定义的引出、定理的证明、例题的安排等方面系统参考了多本数学分析教材，充分考虑了教学效果和需求。同时，增加了数学知识的应用，设置了一些有特色的例子和一些有一定难度的内容，便于有兴趣的读者进一步学习，同时也指出了和其他数学课程的有机衔接，起到抛砖引玉的作用。
全冷主要内容分为一元微积分和多元微积分两大部分。一元微积分包括实数的基本理论、极限、一元微分、一元积分、级数理论；多元微积分包括多元点集的基本理论、多元微分、重积分、曲线积分和曲面积分等。
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香港中文大学博士；华北电力大学教授，数学院院长
目录
前言
第1章 引言 1
第2章 实数、集合与函数的基本性质 13
2.1 实数的性质 13
2.1.1 四则运算、有理数和无理数 13
2.1.2 数轴与实数集 14
2.1.3 实数的小数表示 16
2.1.4 实数的确界原理 19
2.1.5 实数的不可数性质 21
2.2 函数 25
2.2.1 函数的定义和图像 25
2.2.2 函数的性质 26
2.2.3 函数的运算 27
2.2.4 初等函数 28
2.3 雇 29
第3章 数列极限 31
3.1 数列极限的定义 33
3.2 数列极限的性质与运算 43
3.3 数列极限存在的条件 49
3.4 实数集的基本定理 62
3.4.1 区间套定理 62
3.4.2 聚点定理 64
3.4.3 有限覆盖定理 65
3.4.4 实数系基本定理的等价性 67
3.5 习题 69
第4章 函数极限 72
4.1自变量趋近于oo时的极限 73
4.2自变量趋近于邳时的极限 74
4.3 函数极限的性质 79
4.4 函数极限的判定 82
4.4.1 柯西准则 82
4.4.2 夹挤定理 83
4.4.3 归结原则 84
4.4.4 单调有界原理 86
4.5 两个重要极限 86
4.6 无穷小与无穷大的阶 90
4.7 函数的连续与间断 92
4.7.1 一点处的连续性 93
4.7.2 单侧连续性 94
4.7.3 区间上的逐点连续性 94
4.7.4 区间上的一致连续性 95
4.7.5 间断性 96
4.8 连续函数的性质 98
4.8.1 一点处连续函数的局部性质 98
4.8.2 闭区间上连续函数的整体性质 98
4.9 初等函数的连续性 101
4.9.1 常见运算下的连续性 101
4.9.2 初等函数的连续性 102
4.10 习题 104
第5章 一元函数的微分 106
5.1 起源 106
5.2 导数 111
5.2.1 函数的和、差、积、商的导数 112
5.2.2 复合函数的导数 113
5.2.3 反函数的求导 114
5.2.4 基本初等函数的导数 115
5.2.5 参变量函数的导数 118
5.2.6 高阶导数 120
5.3 一元函数的微分 123
5.4 导数的应用：求函数的极值 127
5.4.1 曲线的升降与极值 128
5.4.2 中值定理与函数的扭转：二阶导数 134
5.4.3 方程的近似解 146
5.5 阶的比较：*与*型函数极限 149
5.6 高阶导数的应用：泰勒展开 156
5.6.1 几个基本初等函数的泰勒级数 162
5.6.2 圆周率的计算 166
附录一 基本初等函数的导数表 171
5.8 习题 172
第6章 不定积分 178
6.1 不定积分的定义 178
6.2 换元积分法 180
6.3 分部积分法 183
6.4 有理函数的不定积分 186
6.5 三角函数有理式的不定积分 189
6.6 某些无理根式的不定积分 193
6.6.1 *型积分 193
6.6.2 二项式微分式积分 195
6.6.3 *型积分 196
6.7 习题 199
第7章 定积分 202
7.1 定积分概念 202
7.2 牛顿-莱布尼茨公式 208
7.3 可积条件 210
7.4 定积分的性质 213
7.5 定积分的应用 220
7.5.1 弧长的计算 223
7.5.2 面积的计算 226
7.5.3 旋转体的体积 226
7.5.4 旋转面的侧面积 229
7.6 瑕积分与反常积分 231
*7.7 阶的估计 239
7.7.1 斯特林公式的收敛速度 242
7.7.2 二项式系数的渐近估计 246
7.7.3 Basel问题的极限与收敛率 249
7.8 习题 252
第8章 数项级数 257
8.1 无穷级数的收敛性 259
8.2 正项级数 262
8.3 一般项级数 269
8.4 无穷乘积 278
8.5 阶的估计 284
8.6 习题 288
第9章 函数列与函数项级数 291
9.1 函数列及其一致收敛性的定义 291
9.2 一致收敛函数列的判定 295
9.3 一致收敛函数列的性质 297
9.4 函数项级数的一致收敛性及判别法 304
9.5 一致收敛函数项级数的性质 308
9.5.1 一致收敛函数项级数的性质 308
9.5.2 应用：没有导数的连续函数 311
9.6 幂级数 315
9.6.1 幂级数的性质 318
9.6.2 幕级数的四则运算 320
9.6.3 连续函数的伯恩斯坦逼近 322
9.7 习题 325
第10章 傅里叶级数 327
10.1 以2π为周期的傅里叶级数 328
10.1.1 傅里叶级数的部分和 330
10.1.2 贝塞尔不等式与最佳平方逼近 332
10.1.3 傅里叶级数的收敛性 334
10.2 以为周期的傅里叶级数 343
*10.2.1 傅里叶级数的（C，1）和 344
10.2.2 傅里叶级数的性质 348
10.3 习题 353
第11章 多元函数的极限与连续 1
11.1 平面点集与多元函数 2
11.1.1 平面点集 2
11.1.2 R2上的完备性定理 5
11.1.3 二元函数 7
11.1.4 n元函数 8
11.2 二元函数的极限 11
11.2.1 二元函数极限的概念 11
11.2.2 累次极限 14
11.3 二元函数的连续性 17
11.3.1 二元函数连续性的概念 17
11.3.2 有界闭域上连续函数的性质 19
11.4 习题 23
第12章 多元函数微分学 27
12.1 可微性 27
12.1.1 偏导数 29
12.1.2 可微性 30
12.1.3 可微性的几何意义及应用 33
12.2 复合函数微分法 37
12.2.1 复合函数的求导法则 37
12.2.2 复合函数的全微分 40
12.3 方向导数与梯度 41
12.4 泰勒公式与极值问题 43
12.4.1 高阶偏导数 43
12.4.2 中值定理 48
12.4.3 泰勒公式 48
12.4.4 极值问题 50
12.5 习题 57
第13章 隐函数定理及其应用 61
13.1 隐函数存在性条件的分析 61
13.2 隐函数定理 62
13.3 隐函数求导的例子 66
13.4 隐函数组 67
13.4.1 隐函数组的局部存在性与可微性 68
13.4.2 反函数组与坐标变换 70
13.5 几何应用 72
13.5.1 曲线的切线和法平面 72
13.5.2 曲面的切平面与法线 74
13.6 条件极值 77
13.6.1 条件极值的必要条件和拉格朗日乘数法 77
13.6.2 几个例子 79
13.7 习题 81
第14章 含参量积分 84
14.1 含参量正常积分 84
14.1.1 含参量正常积分的连续性 84
14.1.2 含参量正常积分的可微性 86
14.1.3 含参量正常积分的可积性 88
14.2 含参量反常积分 90
14.2.1 含参量反常积分的一致收敛性及判别法 90
14.2.2 含参量反常积分的性质 95
14.3 欧拉积分 101
14.3.1 r 函数 101
14.3.2 B 函数 107
14.3.3 B函数与r函数的关系 109
14.4 习题 114
第15章 重积分 117
15.1 二重积分的概念 118
15.1.1 平面图形的面积 118
15.1.2 二重积分的定义及存在性定理 120
15.2 二重积分的计算 124
15.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 124
15.2.2 二重积分的变量变换 128
15.3 曲面的面积 135
15.4 三重积分 139
15.4.1 三重积分的概念 139
15.4.2 三重积分的计算 140
15.4.3 三重积分的换元 144
15.4.4 三重积分的应用 146
15.5 n重积分 148
15.5.1 n重积分的定义 149
15.5.2 n重积分化为累次积分 150
15.5.3 n重积分的变量变换 152
15.6 习题 155
第16章 曲线积分 159
16.1 第一型曲线积分 159
16.1.1 第一型曲线积分的定义 160
16.1.2 第一型曲线积分的计算 162
16.2 第二型曲线积分 163
16.2.1 第二型曲线积分的定义 164
16.2.2 第二型曲线积分的计算 166
16.2.3 曲线积分求面积 168
16.3 第二型曲线积分与格林公式 169
16.4 曲线积分与路径无关 172
16.5 习题 175
第17章 曲面积分 177
17.1 第一型曲面积分 177
17.1.1 第一型曲面积分的概念 177
17.1.2 第一型曲面积分的计算 178
17.2 第二型曲面积分 179
17.2.1 曲面的侧 179
17.2.2 第二型曲面积分的概念 180
17.2.3 第二型曲面积分的计算 181
17.2.4 两类曲面积分的联系 183
17.3 高斯公式与斯托克斯公式 184
17.3.1 高斯公式 184
17.3.2 斯托克斯公式 186
17.4 场论简介 188
17.4.1 场的概念 189
17.4.2 梯度场 189
17.4.3 散度场 190
17.4.4 旋度场 192
17.4.5 在物理上的应用 193
17.5 习题 195
第18章 外积、微分形式、外微分与多元微积分的基本定理 197
18.1 微分外积、微分式与微分算子 202
18.2 从微分形式看梯度、旋度和散度 206
18.3 多变量微积分的基本定理 208
参考文献 211
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