本书系统介绍**化问题的稳定性分析的基本理论，讨论稳定性理论在具体优化问题中的应用，基本理论部分包括变分分析的相关素材、对偶理论、集值映射的稳定性概念及相互关系、稳定性质和微分准则、线性系统与非线性系统的稳定性.应用部分包括凸优化问题的稳定性分析、一般优化问题的稳定性分析及三类锥规刘(非线性规划、二阶锥约束优化及半定优化)问题的稳定性分析,其中三类锥规划问题的稳定性分析分别涉及**性条件、Jacobian**性条件、强二阶充分性条件、稳定性的等价刻画及孤立平稳性等内容.
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目 录
《运筹与管理科学丛书》序
前言
符号说明
第 1 章 变分分析的相关素材 1
1.1 集合间的距离函数 1
1.2 集值映射 5
1.3 变分几何与微分 9
1.3.1 切锥与法锥 9
1.3.2 二阶切集 20
1.3.3 函数的广义微分及次梯度 22
1.3.4 映射的图微分 25
1.4 投影算子的 Clarke 广义 Jacobian 28
1.5 半光滑函数 33
第 2 章 对偶理论 41
2.1 共轭对偶 41
2.1.1 共轭函数 41
2.1.2 共轭对偶问题 43
2.2 Lagrange 对偶 47
2.3 对偶理论的应用 48
第 3 章 稳定性质和微分准则 54
3.1 稳定性概念 54
3.2 稳定性的微分准则 62
3.2.1 Aubin 性质 63
3.2.2 强正则性 66
3.2.3 Lipschitz 函数的可逆性 71
3.2.4 孤立平稳性的图导数准则 75
第 4 章 线性系统与非线性系统的稳定性 77
4.1 Ho.man 引理 77
4.2 线性系统的稳定性 79
4.3 非线性系统的稳定性 83
4.4 抽象约束系统的稳定性 90
4.4.1 广义开映射定理 90
4.4.2 度量正则性 93
4.4.3 约束集合的稳定性 95
4.4.4 上 Lipschitz 连续性与误差界 100
4.4.5 凸函数水平集的切锥 102
4.4.6 . = G.1(K) 的切锥 104
4.4.7 . = G.1(K) 的二阶切集 105
第 5 章 凸优化问题的稳定性分析 106
5.1 KKT 系统的强正则性与 Aubin 性质的等价性 106
5.2 几个具体的凸优化问题的稳定性 108
5.2.1 凸二次规划 108
5.2.2 线性半定规划 123
5.2.3 线性二阶锥优化 132
第 6 章 一般优化问题的稳定性分析 137
6.1 集值映射连续性 137
6.2 强正则性与一致二阶增长条件 138
6.3 C2-锥简约优化问题的稳定性分析 145
6.3.1 Jacobian 唯一性条件 145
6.3.2 稳健孤立平稳性 152
6.4 次微分的正则性质 162
6.4.1 强度量正则与强次正则的定义 162
6.4.2 次正则性与二阶增长条件 163
6.4.3 次微分的次正则性在 Banach 空间的推广 168
第 7 章 非线性规划的稳定性分析 175
7.1 到多面体集合的投影 175
7.2 NLP 约束集合的切锥与二阶切集 178
7.3 NLP 的一二阶最优性条件 179
7.4 Jacobian 唯一性条件 183
7.5 多面体凸集合上的变分不等式的强正则性 186
7.5.1 线性问题解集合的 Aubin 性质 187
7.5.2 非线性问题解集合的 Aubin 性质 191
7.6 非线性互补问题的稳定性 197
7.7 NLP 问题的 KKT 系统的强正则性 198
7.8 NLP 问题的稳定性分析 202
7.9 NLP 问题 KKT 映射的稳健孤立平稳性 207
第 8 章 二阶锥约束优化的稳定性 213
8.1 二阶锥简介 213
8.2 二阶锥的变分几何 214
8.3 二阶锥的投影映射 215
8.4 投影算子的伴同导数 217
8.5 二阶锥约束优化的最优性条件 221
8.5.1 SOP 问题 221
8.5.2 一阶必要性条件 222
8.5.3 二阶最优性条件 224
8.6 二阶锥约束优化的稳定性分析 226
8.6.1 强二阶充分条件 226
8.6.2 稳定性的等价条件 228
8.6.3 Jacobian 唯一性条件 231
8.7 二阶锥优化的孤立平稳性 237
第 9 章 半定优化的稳定性分析 254
9.1 非线性半定规划的最优性条件 254
9.1.1 对称负半定矩阵锥的切锥 254
9.1.2 对偶性 256
9.1.3 一阶最优性条件 257
9.1.4 二阶最优性条件 260
9.2 非线性半定规划的稳定性分析 262
9.2.1 线性{二次函数 262
9.2.2 强二阶充分条件 264
9.2.3 稳定性的等价刻画 267
9.2.4 Jacobian 唯一性条件 272
9.3 非线性 SDP 问题的 KKT 映射的孤立平稳性 278
参考文献 292
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